Как правильно преподавать математику: мнение Бертрана Рассела
Когда ученику дают формулу без понимания её смысла, он может выучить её — но не научиться думать. Бертран Рассел настаивал: математику нужно преподавать не как свод рецептов, а как упражнение в абстрактном мышлении.
По мнению Рассела, цель математического образования — не в обучении вычислениям, а в развитии логической структуры ума. Это подход, где формулы вторичны, а мышление — первично.
Этот фрагмент раскрывает расселовскую модель преподавания математики — как интеллектуальной дисциплины, а не технического навыка.
***
Математика, при правильном рассмотрении, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и аскетичной, подобной красоте скульптуры, без обращения к какой-либо части нашей более слабой натуры, без великолепных атрибутов живописи или музыки, но при этом возвышенно чистой и способной к суровому совершенству, какое может показать только величайшее искусство. Истинный дух восторга, экзальтации, ощущения себя чем-то большим, чем человек, который является пробным камнем высшего совершенства, можно найти в математике так же несомненно, как и в поэзии. Лучшее в математике заслуживает того, чтобы его не просто изучали как задачу, но усваивали как часть повседневной мысли и снова и снова представляли уму с постоянно обновляющимся воодушевлением. Реальная жизнь для большинства людей долгое время была второстепенной, постоянным компромиссом между идеальным и возможным; но мир чистого разума не знает компромиссов, никаких практических [61] ограничений, никаких препятствий для творческой деятельности, воплощающей в великолепных зданиях страстное стремление к совершенству, из которого проистекает вся великая работа. Удаленные от человеческих страстей, далекие даже от жалких фактов природы, поколения постепенно создали упорядоченный космос, где чистая мысль может обитать, как в своем естественном доме, и где, по крайней мере, один из наших более благородных порывов может сбежать из унылого изгнания реального мира. [...]
Как следует проводить преподавание математики, чтобы как можно больше рассказать учащимся об этом высоком идеале? Здесь нашим руководством в значительной степени должен быть опыт; но некоторые максимы могут вытекать из нашего рассмотрения конечной цели, которая должна быть достигнута.
[62] Одна из главных целей, которой служит математика при правильном преподавании, — пробудить в ученике веру в разум, его уверенность в истинности того, что было продемонстрировано, и в ценности демонстрации. Существующие инструкции не служат этой цели; но легко увидеть способы, которыми это можно было бы сделать. В настоящее время в том, что касается арифметики, мальчику или девочке дается набор правил, которые не являются ни истинными, ни ложными, а просто являются волей учителя, способом, которым по какой-то непостижимой причине учитель предпочитает, чтобы в игру играли. В какой-то степени при изучении такой определенной практической полезности это, без сомнения, неизбежно; но как можно скорее следует изложить причины правил любыми средствами, которые наиболее понятны детскому уму. В геометрии, вместо утомительного аппарата ошибочных доказательств очевидных трюизмов, который составляет начало Евклида, ученику сначала должно быть позволено предположить истинность всего очевидного, и его следует проинструктировать по демонстрации теорем, которые одновременно поразительны и легко проверяемы с помощью реального рисунка, например, тех, на которых показано, что три или более прямых сходятся в точке. Таким образом зарождается вера; видно, что рассуждения могут привести к поразительным выводам, которые, тем не менее, будут подтверждаться фактами; и таким образом инстинктивное недоверие ко всему абстрактному или рациональному постепенно преодолевается. Там, где теоремы трудны, их следует сначала учить в виде упражнений по геометрическому рисованию, пока фигура не станет полностью знакомой; тогда приятным шагом вперед будет изучение логических связей различных встречающихся линий или окружностей. Желательно также, чтобы фигура, иллюстрирующая теорему, была нарисована во всех возможных случаях и формах, чтобы абстрактные отношения, с которыми связана геометрия, могли сами по себе [63] проявиться как остаток сходства среди такого большого кажущегося разнообразия. Таким образом, абстрактные демонстрации должны составлять лишь небольшую часть инструкции и должны даваться тогда, когда благодаря знакомству с конкретными иллюстрациями они начинают восприниматься как естественное воплощение видимого факта. На этой ранней стадии доказательства не должны приводиться с педантичной полнотой; определенно ошибочные методы, такие как суперпозиция, должны быть строго исключены с самого начала, но там, где без таких методов доказательство было бы очень трудным, результат должен быть сделан приемлемым с помощью аргументов и иллюстраций, которые явно контрастируют с демонстрациями.
В начале изучения алгебры даже самый умный ребенок сталкивается, как правило, с очень большими трудностями. Использование букв — это тайна, которая, кажется, не имеет никакой цели, кроме мистификации. Поначалу почти невозможно не думать, что каждая буква обозначает какое-то определенное число, если только учитель объяснит, какое число она обозначает. Дело в том, что в алгебре ум сначала учат рассматривать общие истины, истины, которые, как утверждается, справедливы не только для той или иной конкретной вещи, но и для любой из целой группы вещей. Именно в способности понимать и открывать такие истины заключается господство интеллекта над всем миром реальных и возможных вещей; и способность иметь дело с общим как таковым является одним из даров, которыми должно наделять математическое образование. Но как мало, как правило, учитель алгебры способен объяснить пропасть, отделяющую ее от арифметики, и как мало помогает ученику в его пробивающихся попытках понимания! Обычно продолжается метод, принятый в арифметике: излагаются правила без адекватного объяснения их оснований; ученик учится использовать правила вслепую, [64] и в настоящее время, когда он может получить ответ, которого желает учитель, он чувствует, что справился с трудностями предмета. Но для внутреннего понимания используемых процессов он, вероятно, почти ничего не приобрел. [...]
Если мы рассматриваем математику как самоцель, а не как техническую подготовку инженеров, то очень желательно сохранить чистоту и строгость ее рассуждений. Соответственно, тех, кто достаточно хорошо знаком с ее простыми частями, следует уводить назад от положений, с которыми они согласились как с самоочевидными, ко все более фундаментальным принципам, из которых может быть выведено то, что ранее казалось предпосылками. Их следует [66] учить тому, что очень точно иллюстрирует теория бесконечности, — что многие утверждения кажутся самоочевидными для нетренированного ума, которые, тем не менее, при более тщательном рассмотрении оказываются ложными. Это приведет их к скептическому исследованию первых принципов, исследованию основ, на которых построено все здание рассуждений, или, если воспользоваться, возможно, более подходящей метафорой, к огромному стволу, от которого отходят раскидистые ветви. На данном этапе полезно заново изучить элементарные разделы математики, задаваясь вопросом уже не только о том, истинно ли данное утверждение, но и о том, как оно вытекает из центральных принципов логики. На вопросы такого рода теперь можно ответить с точностью и определенностью, которые раньше были совершенно невозможны; и в цепочках рассуждений, требующих ответа, наконец раскрывается единство всех математических исследований. [...]
Когда отдельные дисциплины, на которые разделена математика, будут рассматриваться как логическое целое, как естественное следствие положений, составляющих их принципы, учащийся сможет понять фундаментальную науку, которая объединяет и систематизирует все дедуктивные рассуждения. Это символическая логика — наука, которая, хотя и обязана своим возникновением Аристотелю, все же в своем более широком развитии является продуктом, почти полностью, девятнадцатого века, и действительно, в наши дни все еще развивается с большой скоростью. Истинным методом открытия в символической логике и, вероятно, также лучшим методом ознакомления с исследованием учащегося, знакомого с другими разделами математики, является анализ реальных примеров дедуктивного рассуждения с целью открытия используемых принципов. Эти принципы, по большей части, настолько укоренились в наших логических инстинктах, что используются совершенно бессознательно и могут быть извлечены на свет только путем больших терпеливых усилий. Но когда, наконец, они были найдены, оказалось, что их немного и что они являются единственным источником всего в чистой математике. Открытие, что вся математика неизбежно вытекает из небольшого набора фундаментальных законов, неизмеримо усиливает интеллектуальную красоту целого; к тем, кто был угнетен фрагментарной и неполной природой большинства существующих цепочек дедукции, это открытие приходит со всей ошеломляющей силой откровения; подобно дворцу, появляющемуся из осеннего тумана, когда путешественник поднимается по склону итальянского холма, величественные этажи математического здания предстают в их [68] должном порядке и пропорциях, с новым совершенством в каждой части. [...]
При обучении очень желательно не просто убеждать ученика в точности важных теорем, но убеждать его тем способом, который сам по себе из всех возможных наиболее красив. Истинный интерес демонстрации не заключается, как предполагают традиционные способы изложения, полностью в результате; там, где это происходит, это следует рассматривать как дефект, подлежащий исправлению, если возможно, путем такого обобщения этапов доказательства, чтобы каждый из них становился важным сам по себе. Аргумент, который служит только для доказательства вывода, подобен истории, подчиненной некоторой морали, которой он призван учить: для эстетического совершенства никакая часть целого не должна быть просто средством. Определенный практический дух, стремление к быстрому прогрессу, к завоеванию новых областей ответственны за чрезмерный акцент на результатах, который преобладает в математическом обучении. Лучший способ — предложить какую-нибудь тему для рассмотрения — в геометрии фигуру, обладающую важными свойствами; в анализе функцию, которую проливает свет исследование, и так далее. Всякий раз, когда доказательства зависят только от некоторых признаков, по которым мы определяем изучаемый объект, эти признаки следует выделять и исследовать сами по себе. Ибо недостатком аргументации является использование большего количества посылок, чем требует заключение: то, что математики называют элегантностью, является результатом использования только основных принципов, в силу которых тезис истинен. Заслугой [71] Евклида является то, что он продвигается настолько далеко, насколько может, не используя аксиому параллелей — не потому, как часто говорят, что эта аксиома по своей сути неприемлема, а потому, что в математике каждая новая аксиома уменьшает общность результирующих теорем, а прежде всего следует стремиться к максимально возможной общности. [...]
Влияние математики на практическую жизнь, хотя его и не следует рассматривать как мотив наших занятий, может быть использовано для ответа на сомнение, которому всегда должен быть подвержен одинокий [72] студент. В мире, столь полном зла и страданий, уединение в обители созерцания, предаваясь удовольствиям, которые, какими бы благородными они ни были, всегда должны быть доступны лишь немногим, не может не выглядеть несколько эгоистичным отказом разделить бремя, возложенное на других случайностями, в которых справедливость не играет никакой роли. Есть ли у кого-нибудь из нас право, спрашиваем мы, удалиться от нынешнего зла, оставить своих ближних без помощи, пока мы живем жизнью, которая, хотя и трудна и аскетична, все же явно хороша по своей природе? Когда возникают эти вопросы, истинный ответ, без сомнения, заключается в том, что кто-то должен поддерживать священный огонь, кто-то должен сохранять в каждом поколении навязчивое видение, которое затемняет цель стольких усилий. Но когда, как это иногда должно происходить, этот ответ кажется слишком холодным, когда мы почти сходим с ума от зрелища печалей, которым мы ничем не помогаем, тогда мы можем подумать, что косвенно математик часто делает для счастья человека больше, чем любой из его более практичных современников. История науки убедительно доказывает, что совокупность абстрактных положений — даже если, как в случае с коническими сечениями, они две тысячи лет остаются без влияния на повседневную жизнь — все же может в любой момент быть использована для того, чтобы вызвать революцию в привычных мыслях и занятиях каждого гражданина. Использование пара и электричества — возьмем поразительные примеры — стало возможным только благодаря математике. В результатах абстрактной мысли мир обладает капиталом, использование которого для обогащения общего круга не имеет доселе обнаруженных пределов. Опыт также не дает никаких средств решить, какие части математики будут признаны полезными. Таким образом, полезность может быть только утешением в моменты уныния, а не руководством к действию в наших исследованиях.
Для оздоровления нравственной жизни, для облагораживания тона [73] эпохи или нации более строгие добродетели обладают странной силой, превосходящей силу тех, кто не информирован и не очищен мыслью. Из этих более строгих добродетелей любовь к истине является главной, и в математике, где любовь к истине может найти поддержку для ослабевающей веры. Каждое великое исследование является не только самоцелью, но и средством создания и поддержания возвышенного образа мыслей; и эту цель следует всегда иметь в виду на протяжении всего преподавания математики.
ЧТО ТАКОЕ БАЗА ЗНАНИЙ?
Концентрированная книга издательства LIVREZON складывается из сотен и тысяч проанализированных источников литературы и масс-медиа. Авторы скрупулёзно изучают книги, статьи, видео, интервью и делятся полезными материалами, формируя коллективную Базу знаний.
Пример – это фактурная единица информации: небанальное воспроизводимое преобразование, которое используется в исследовании. Увы, найти его непросто. С 2017 года наш Клуб авторов собрал более 80 тысяч примеров. Часть из них мы ежедневно публикуем здесь.
Каждый фрагмент Базы знаний относится к одной или нескольким категориям и обладает точной ссылкой на первоисточник. Продолжите читать материалы по теме или найдите книгу, чтобы изучить её самостоятельно.
📎 База знаний издательства LIVREZON – только полезные материалы.