Математика как образец для других наук: ошибочные аналогии. Статья Дмитрия Матвеева

0
Автор статьи: Дмитрий Матвеев7/10/2022

Образцом правильных знаний часто служит математика. Начиная рассуждать от самоочевидных аксиом, человек может строго доказывать красивые и неожиданные теоремы. А потом еще и оказывается, что логические построения «‎из головы» становятся очень полезными в других науках и технике.

На протяжении всей истории философы черпали идеи из математики. 

Теория идей Платона наследует идеям Пифагора. Метод Р. Декарта повторяет по форме метод математиков. Дж. Локк занимается очищением идей, потому что для него главная особенность математики — «‎замечательные методы выделения и выстраивания в порядок посредствующих идей». И. Кант строит систему трансцендентальной философии по аналогии с математикой, физикой и логикой. Ч. Пирс, П. Дюгем, И. Лакатош (и на них список не заканчивается) — все они занимались математикой и заметно ориентировались на нее в своих философских работах. Даже отрицавший особую роль и положение математики Дж. Ст. Милль тратит немало времени на обсуждение математики, чтобы свою позицию обосновать.

В первой колонке таблицы Марио Бунге поставил отметки у философов, которые интересовались математикой (хотя туда можно добавить и Дж. Локка, и Т. Гоббса):

Bunge M. Philosophy of science and technology. P.2 (D. Reidel Publishing Company)

Перефразируя немецких философов, говоривших об И. Канте: можно говорить о познании, ориентируясь на математику, можно говорить о познании, отрицая математику, но нельзя говорить о познании без математики.

Однако мощное развитие математики и математической логики в XIX и XX веках изменили наше представление об этой науке, и теперь мы можем обнаружить ошибки как в восприятии математики, так и в переносе этих представлений на научный метод в целом.

В этой статье мы разберем пять таких ошибок по схеме: 

  • наблюдение — как видели математику, какое ее свойство принимали за отправную точку в рассуждениях;
  • ошибочный вывод — какой сделали ошибочный вывод для научного метода в целом, на основе наблюдения;
  • как на самом деле обстоят дела в математике;
  • как на самом деле обстоят дела в научном методе.

Ошибка 1. ДОГМАТИЗМ

Наблюдение
По любому математическому утверждению можно сказать, истинно оно или ложно. Невозможно двояко трактовать математические результаты, потому что они обосновываются строгими доказательствами. Поэтому и оспорить математический результат невозможно — математические истины устанавливаются раз и навсегда.

Ошибочный вывод
Догматическая установка: существует одна истина, строго доказуемая, безоговорочная, раз и навсегда установленная. А всё, что этой истине не соответствует — ложь.

На самом деле в математике 
[1.1] Само наблюдение здесь, строго говоря, неверно. В математике существуют истинные утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть (Теорема К. Гёделя о неполноте). В математике существуют утверждения, которые можно считать истинными, а можно ложными (любое решение континуум-гипотезы не приводит к противоречию с аксиоматикой теории множеств, что доказали К. Гёдель и П. Коэн). В математике существуют разные логики и разные геометрии, которые строятся по-разному в зависимости от выбранных аксиом.

[1.2] В математике существуют разные степени строгости доказательств. И то, что Л. Эйлеру казалось самоочевидным, в эпоху К. Вейерштрасса потребовало длинных цепочек доказательств. А истории формулы Л. Эйлера для соотношения на число вершин, ребер и граней многогранников (В - Р + Г = 2) посвящена целая книга Имре Лакатоша «‎Доказательства и опровержения», в которой он показывает, как со времен античности к этой формуле постоянно находили контрпримеры и подправляли формулировку теоремы.

ПРИМЕР. Изменения критерия «строгости доказательства» производят в математике большие революции. Пифагорейцы считали, что строгие доказательства могут быть только арифметическими. Однако они открыли строгое доказательство, что корень из числа два был «иррациональным». Когда этот скандал вышел наружу, то критерий был изменен: арифметическая интуиция была дискредитирована и ее место заняла геометрическая интуиция. Это означало большую и сложную реорганизацию математического знания (была введена теория пропорций). В восемнадцатом столетии «вводящие в заблуждение» чертежи испортили репутацию геометрические доказательств и девятнадцатый век увидел снова арифметическую интуицию, воцарившуюся при помощи сложной теории действительных чисел. Сегодня основные споры идут о том, что является или не является строгим в теоретико-множественных и математических доказательствах, как это видно из хорошо известной дискуссии о допустимости мысленных экспериментов Цермело и Гентцена.

Источник: И. Лакатош. Доказательства и опровержения. – М.: ЛКИ, 2010. – С. 74.

На самом деле в науке
[1.3] Во-первых, нужно различать эмпирические и формальные истины. Формальные истины доказываются через цепочку формальных умозаключений. Они верны с логической необходимостью. Эмпирические истины устанавливаются из опыта. Нет никакого логического противоречия ни в одном из предложений: «‎Солнце завтра встанет» и «‎Солнце завтра не встанет». Никак формально не вывести вкус яблока, просто глядя на него. Как говорил Дэвид Юм, действия предметов скрыты от нас и их невозможно вывести, не производя с ними опыт. Поэтому нельзя переносить свойства математических истин на эмпирические.

ПРИМЕР. Пусть некоторый человек, такой, как Адам, созданный обладающим полной силой разума, не обладает опытом. Тогда он никогда не будет в состоянии вывести движение второго шара из движения и толчка первого. Выводить действие заставляет нас не какая-либо вещь, которую разум усматривает в причине. Такой вывод, будь он возможен, был бы равносилен демонстративному доказательству, ибо он всецело основан на сравнении идей. Но ни одно заключение от причины к действию не равносильно демонстрации, что явствует из следующего очевидного рассуждения. Ум всегда может представить, что какое-либо действие вытекает из какой-либо причины и даже что какое- либо произвольное событие следует после какого-то другого. Все, что бы мы ни вообразили, возможно по крайней мере в метафизическом смысле; но всякий раз, когда имеет место демонстративное доказательство, противоположное невозможно и влечет за собой противоречие. Следовательно, не существует демонстративного доказательства какого-либо соединения причины и действия. И это принцип, который философы признают всюду. 

Следовательно, для Адама (если ему это не дано было через вдохновение) необходимо было бы иметь опыт, свидетельствующий, что действие следует за столкновением этих двух шаров. Он должен на нескольких примерах наблюдать, что, когда один шар сталкивается с другим, второй всегда приобретает движение. Если бы он наблюдал достаточное число примеров этого рода, то всякий раз, когда бы он видел один шар, двигающийся по направлению к другому, он бы заключал без колебаний, что второй приобретет движение. Его разум предвосхищал бы его взор и осуществлял бы умозаключение, соответствующее его прошлому опыту. 

Отсюда следует, что все рассуждения относительно причины и действия основаны на опыте и что все рассуждения из опыта основаны на предположении, что в природе будет неизменно сохраняться один и тот же порядок. Мы заключаем, что сходные причины при сходных обстоятельствах всегда будут производить подобные действия. Теперь, может быть, стоит рассмотреть, что побуждает нас образовывать умозаключения с таким бесконечным количеством следствий.

Источник: Д. Юм. Сокращенное изложение трактата о человеческой природе. // Собрание сочинений в 2-х томах. – М.: Мысль, 1996. – С. 664.

[1.4] Революции в науках учат нас скромности. Мы понимаем, что наши представления лишь вероятны и что через столетия почти наверняка произойдет переворот, который опрокинет наши убеждения. А догматическая позиция останавливает прогресс, закрывает пути для критики и отсекает гибкость мышления, которая так нужна для открытия нового.

ПРИМЕР. We have seen how success in mathematics would necessarily create a confidence altogether unfounded in man's power of eliciting truth by inward meditation without any aid from experience. Both its confidence in what is within and the absolute certainty of its conclusions lead to the confusion of a priori reason with conscience. For conscience, also, refuses to submit its dicta to experiment, and makes an absolute dual distinction between right and wrong. One result of this is that men begin to rationalize about questions of purity and integrity, which in the long run, through moral decay, is unfavorable to science. But what is worse, from our point of view, they begin to look upon science as a guide to conduct, that is, no longer as pure science but as an instrument for a practical end. One result of this is that all probable reasoning is despised. If a proposition is to be applied to action, it has to be embraced, or believed without reservation. There is no room for doubt, which can only paralyze action. But the scientific spirit requires a man to be at all times ready to dump his whole cart-load of beliefs, the moment experience is against them. The desire to learn forbids him to be perfectly cocksure that he knows already. Besides positive science can only rest on experience; and experience can never result in absolute certainty, exactitude, necessity, or universality. But it is precisely with the universal and necessary, that is, with Law, that [con]science concerns itself. Thus the real character of science is destroyed as soon as it is made an adjunct to conduct; and especially all progress in the inductive sciences is brought to a standstill. 

Источник: Ch. Peirce. Principles of philosophy. §55.

Ошибка 2. МИР ИДЕЙ

Наблюдение 
Из простых и наглядных истин выводятся красивые, неочевидные и сложные теоремы, причем эти теоремы нередко оказываются полезными на практике. С помощью пифагоровых троек можно построить прямой угол, музыкальные тоны относятся друг к другу как целые числа и так далее.

Ошибочный вывод
Существует сверхчувственный мир невещественных идей. Эти идеи совершенны — они истинны, прекрасны и вечны. И наиболее прекрасен образ жизни, состоящий в изучении и созерцании этих идей. Это означает, что мысль выше чувства, а интуиция — выше наблюдения. Обратите внимание, что эти представления пронизывают сразу все три главные сферы исканий человека: этику, эстетику и гносеологию.

ПРИМЕР. Я полагаю, что математика является главным источником веры в вечную и точную истину, как и в сверхчувственный интеллигибельный мир. Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чувственный объект не является точно круглым; и как бы мы тщательно ни применяли наш циркуль, окружности всегда будут до некоторой степени несовершенными и неправильными. Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Мистические доктрины по поводу соотношения времени и вечности также получают поддержку от чистой математики, ибо математические объекты, например, числа (если они вообще реальны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут в свою очередь быть истолкованы как мысли Бога. Отсюда платоновская доктрина, согласно которой Бог является геометром, а также представление сэра Джеймса Джинса о том, что Бог предается арифметическим занятиям. Со времени Пифагора, а особенно Платона, рационалистическая религия, являющаяся противоположностью религии откровения, находилась под полным влиянием математики и математического метода. 

Начавшееся с Пифагора сочетание математики и теологии характерно для религиозной философии Греции, средневековья и Нового времени вплоть до Канта. До Пифагора орфизм был аналогичен азиатским мистическим религиям. Но для Платона, св. Августина, Фомы Аквинского, Декарта, Спинозы и Канта характерно тесное сочетание религии и рассуждения, морального вдохновения и логического восхищения тем, что является вневременным, - сочетание, которое начинается с Пифагора и которое отличает интеллектуализированную теологию Европы от более откровенного мистицизма Азии. Только в самое последнее время стало возможным ясно сказать, в чем состояла ошибка Пифагора. И я не знаю другого человека, который был бы столь влиятельным в области мышления, как Пифагор. Я говорю так потому, что кажущееся платонизмом оказывается при ближайшем анализе в сущности пифагореизмом. С Пифагора начинается вся концепция вечного мира, доступного интеллекту и недоступного чувствам. Если бы не он, то христиане не учили бы о Христе как о Слове; если бы не он, теологи не искали бы логических доказательств бытия Бога и бессмертия. У Пифагора все это дано еще в скрытой форме. Как это стало явным, будет показано в дальнейшем. 

Источник: Б. Рассел. История западной философии. – Сиб. ун. изд-во. 2007. – С. 71-72.

На самом деле в математике
[2.1] Реальные системы аксиом в математике могут быть весьма непростыми. Аксиомы теории множеств ZFC нелегко объяснить даже старшекласснику. Они не похожи на изящную наглядную систему, а воспринимаются скорее как набор технических и порой тавтологичных требований.

[2.2] Математические модели легко оказываются не соответствующими практике:

ПРИМЕР. ...экспериментальные доказательства предпочтительнее математических, так как последние основаны на предположениях и постулатах, которые легко могут вести к ошибкам, вследствие абстрактной природы математических объектов. 

Источник: Р. Бойль. The Works, London, 1772. Vol. 2. Pр. 739-740.

На картинке из книги В. И. Арнольда вы видите нарушение теоремы единственности решения дифференциального уравнения. В теории, траектория корабля бесконечно приближается к поверхности тела и не касается его, но в реальности нельзя приближаться на расстояние меньше чем размер атома…

Источник: В. И. Арнольд. Экспериментальная математика. – М. Фазис, 2005. – С. 58.

На самом деле в науке
[2.3] Наука неразрывно связана с реальностью и деятельностью людей. Из того, что чувственный мир несовершенен, не следует, что нужно уйти в мир умозрительный, как это сделал Платон. И в этом ключевой поворот науки нового времени. Вместо ухода от несовершенной реальности ученые задаются целью очистить опыт от несовершенств с помощью новых техник проведения экспериментов. Ученые начинают смотреть на мир как на объект экспериментального исследования. Пренебрежение же опытом и опора только на «‎мир идей» в отрыве от опыта, как показала практика, к научным результатам не ведет. 

ПРИМЕР. Однако известно, что некоторые философы как в старой, так и в новой Академии, а еще больше среди скептиков в буквальном смысле восприняли этот принцип акаталепсии. Их главная вина заключалась прежде всего в том, что они клеветали на чувственные восприятия и тем самым в корне подрывали всякое знание. Ведь хотя чувства довольно часто обманывают и вводят в заблуждение, однако в союзе с активной деятельностью человека они могут давать нам вполне достаточные знания; и это достигается не столько с помощью инструментов (хотя и они в известной мере оказываются полезными), сколько благодаря экспериментам, способным объекты, недоступные нашим органам чувств, сводить к чувственно воспринимаемым объектам. Скорее они должны были бы приписать этот недостаток как ошибкам разума, так и его самоуверенности (не желающей считаться с самыми реальными вещами), а также неверным доказательствам и методам рассуждения и умозаключения из чувственных восприятий. 

Мы говорим об этом не для того, чтобы умалить значение интеллекта или чтобы объявить тщетными все его попытки; наша цель состоит в том, чтобы найти и предоставить интеллекту необходимую помощь, благодаря которой он сможет преодолеть все трудности и раскрыть тайны природы. Ведь ни один человек не обладает такой твердой и опытной рукой, чтобы быть способным провести прямую линию или начертить совершенный круг, тогда как он легко может сделать это с помощью линейки или циркуля. Именно это мы и собираемся сделать; к подобной цели и направлены все наши усилия: с помощью особой науки сделать разум адекватным материальным вещам, найти особое искусство указания и наведения (directio), которое раскрывало бы нам и делало известным остальные науки, их аксиомы и методы. Мы с полным основанием утверждаем, что такая наука должна быть создана. 

Источник: Ф. Бэкон. О достоинстве и приумножении наук. // Сочинения. Том 1. – М. Мысль, 1971. – С. 296-300.

[2.4] Чем ближе мы к практике и чем сложнее явления, с которыми мы работаем, тем более сложными и громоздкими будут нужные нам математические модели. IT-системы — не сугубо научный, но яркий пример, потому что компьютерная программа — это формальный алгоритм, решающий практические задачи. Можно написать изящный алгоритм сортировки массива, но это очень узкая задача. Если же программисты разрабатывают информационную систему на предприятии, то нередко результат получается настолько неудобоваримым, что потом уходят годы высокооплачиваемого труда на попытки адаптировать систему к изменениям в компании.

ПРИМЕР. «‎Бытовой» пример с более конкретными цифрами.
Компания, занятая интернет торговлей, затеяла масштабное обновление своей программноаппаратной платформы. В течение года несколько команд разработчиков пытались создать работающие версии основных сайтов, но при каждой демонстрации выяснялось, что работа сайта не соответствует процессам, выстроенным в компании в последние 15 лет.

Итог: Потрачено >$1 млн на разработку обновления. Сайты не были запущены, а связанные с ними проекты закрыты. Компания живет за счет старой ИС, созданной еще на заре ее существования и не поддающейся обновлению. Из-за устаревания платформы и накопления ошибок более совершенные технически конкуренты давят на компанию.

Источник: Р. Р. Зайруллин. LEGACY SOFTWARE: Как заставить чужой код работать? – Издательство LIVREZON, 2019.

[2.5] И, главное, в науке не вполне корректно задаваться вопросами веры в мир идей. Минимальная установка исследователя, позволяющая работать, такая: существует реальный мир и его научная интерпретация, которая оказывается более или менее полезной, продуктивной. Причем, одинаково важно как изучение чувственных данных и совершенствование техники наблюдения и эксперимента, так и построение моделей явлений. Это два неотъемлемых и иногда весьма непросто разделяемых процесса в науке.

Ошибка 3. ДЕДУКТИВНЫЙ МЕТОД

Наблюдение
Как устроена работа математика: он из одних положений дедуктивно выводит другие. Если открыть учебник, то там вводятся определения, и из них с помощью формальных дедуктивных доказательств авторы строят развитые теории.

Ошибочный вывод
Познание нужно строить от общих максим и дедуктивно выводить остальное знание по аналогии с «‎Началами» Евклида. Если сформулировать общие максимы, то в них уже будет содержатся остальное знание.

ПРИМЕР. Среди ученых было общепринятым мнение, будто максимы являются основами всякого познания и что каждая наука построена на определенных praecognita, которые дают разуму его отправную точку и которыми он должен руководствоваться в своих исследованиях вопросов данной науки. Отсюда избитый прием схоластов — начинать с одного или нескольких общих положений в качестве оснований, на которых нужно построить приобретаемое знание о данном предмете. Положенные таким образом в основу всякой науки тезисы были названы принципами как начала, от которых мы должны исходить в своих исследованиях и дальше которых мы не должны смотреть вглубь, как мы это уже заметили. 

Источник: Дж. Локк. Сочинения в 3-х томах. – Том 1. – М. Мысль, 1985. – С. 117.

На самом деле в математике
[3.1] В аксиомах не содержится вся теория. Эту теорию нужно строить. Дедукцию часто называют способом рассуждения при котором следствие уже содержится в исходных посылках. Но в аксиомах геометрии не содержится треугольник. 

ПРИМЕР. Ч. Броуд назвал нерешенность проблемы индукции скандалом в философии. Мне кажется, что наряду со скандалом в связи с индукцией существует не менее тревожащий скандал, связанный с дедукцией. В наличии его нетрудно убедиться, выслушав следующий вопрос, заданный сообразительным первокурсником после того, как ему сообщили, что дедуктивное рассуждение «тавтологично», или «аналитично», а логические истины не имеют «эмпирического содержания» и не могут быть использованы, чтобы делать «фактуальные утверждения»,— в каком же смысле тогда дедуктивное рассуждение дает нам новую информацию? Такой смысл, очевидно, должен существовать, так как в противном случае непонятно, откуда берется все богатое содержание логики и математики. Этот вопрос действительно вызывает явное замешательство.

Источник: Я. Хинтикка. Логико-эпистемологические исследования. – М. Прогресс, 1980. – С. 158.

Так как же возникает новизна в математике? Треугольник сначала строится, потом обнаруживаются его свойства и только потом доказательство связывает обнаруженное свойство с аксиомами и уже доказанными теоремами. Утверждение, что из аксиом строится математика, не сильно отличается от утверждения, что из алфавита строится язык.

ПРИМЕР. ...нельзя сказать, что мы даже в действительно аналитической и дедуктивной части математических рассуждений двигались от общего к частному в обычном смысле слова. [...]

...математики действуют, применяя процесс «‎конструирования»; они конструируют сочетания все более и более сложные. Возвращаясь затем путем анализа этих сочетаний — этих, так сказать, совокупностей — к их первоначальным элементам, они раскрывают отношения этих элементов и выводят отсюда отношения самих совокупностей. [...]

Конструирование становится интересным только тогда, когда его можно сравнить с другими аналогичными конструкциями, образующими виды того же родового понятия. Необходимо еще, чтобы было возможно доказывать родовые свойства, не будучи вынужденным обосновывать их последовательно для каждого вида. Чтобы достигнуть этого, необходимо вновь подняться от частного к общему, пройдя одну или несколько ступеней.

Источник: А. Пуанкаре. О науке. – М. Наука, 1990. – С. 22-24.

[3.2] Формально дедуцировать можно массу всего, выписывая логические тавтологии по некоторому алгоритму. Но не любую логическую тавтологию можно адекватно интерпретировать. Как раз дело математика в том, чтобы сформулировать содержательную теорему, выбрать ее из множества других возможных утверждений. И в этом дедукция никак не поможет. 

ПРИМЕР. В чем, в самом деле, состоит математическое творчество? Оно заключается не в создании новых комбинаций с помощью уже известных математических объектов. Это может сделать мало ли кто; но число комбинаций, которые можно найти этим путем, было бы бесконечно, и даже самое большое их число не представляло бы ровно никакого интереса. Творчество состоит как раз в том, чтобы не создавать бесполезных комбинаций, а строить такие, которые оказываются полезными; а их ничтожное меньшинство. Творить это отличать, выбирать.

Источник: А. Пуанкаре. О науке. – М. Наука, 1990. – С. 403.

Сначала нужно догадаться до удачных свойств, ввести удачный объект для получения богатых результатов. А дедуктивное оформление доказательства — дело техники. Многие великие математики на это указывали:

ПРИМЕР. Эвристическое предшествование результата перед аргументацией или теоремы перед доказательством глубоко укоренилось в математическом фольклоре. Приведем несколько вариаций на знакомую тему: 
• говорят, что Хризипп написал Клеанфу: «Пришли только мне теоремы и тогда я найду доказательства» [Диоген Лаэрций (ок. 200), VII, 179]. 
• Говорят, что Гаусс жаловался: «Я уже давно имел мои результаты, но я еще не знаю, как мне к ним прийти» [см. Арбер (Arber, 1954), стр. 77)]
• и Риман: «Если бы я только имел теоремы! Тогда я смог бы достаточно легко найти доказательства» [См. Гëльдер (Hölder, 1924), стр. 487]. 
• Полья подчеркивает: «Вы должны угадать математическую теорему, прежде чем вы ее докажете» [(1954), т. 1, стр. VI].

Источник: И. Лакатош. Доказательства и опровержения. – М. ЛКИ, 2010. – С. 17.

Конечно, доказательства могут занимать большую часть времени работы математика. Но по ходу доказательства точно так же то открываются новые идеи, то дедуктивно связываются с уже доказанным. Ценность доказательства Великой Теоремы Ферма не в длинных технических выкладках и не в самом утверждении, а в том, что по ходу доказательства были развиты целые разделы теории чисел.

ПРИМЕР. Rigorous proof by deduction, unlike rigorous refutation by counterexample, is distinctively mathematical. For this reason proof is often regarded as the heart of mathematics. But this is like saying that the heart of physics is hypothesis testing. Checking - proving theorems and disproving conjectures - may certainly take up most of the time of a mathematician, but it is not more important than looking for new problems, restating old problems in more suitable terms, conjecturing theorems or algorithms, building theories, or using them for solving problems. After all, most theorems must be hypothesized before they can be proved, and usually the motivation for conjecturing them is the need to solve some problem. In short, proof is certainly distinctive of mathematics, but there is more to doing mathematics than proving or disproving.

Источник: M. Bunge. Philosophy of science and technology. P.22 (D. Reidel Publishing Company).

На самом деле в науке
[3.3] Дедуктивная система — результат формализации зрелой области, а не метод разработки нового. И в математике и в науке формулировка аксиом и вывод следствий — это лишь способ оформления, а не получения знания.

[3.4] Даже в очень близких к математике эмпирических науках, например, в физике, дедуктивно выведенные формулы сами по себе не становятся истиной в последней инстанции, ценность модели придает лишь соответствие наблюдаемым явлениям и эксперименту.

ПРИМЕР. The same principle holds in physics. Mathematical formulae have now taken the place in physics once occupied by propositions about eternal essences and the fixed species defined by these essences. The formulae are deductively developed by means of rules of implication. But the value of the deduced result for physical science is not determined by the correctness of the deduction.  

The deductive conclusion is used to instigate and direct operations of experimental observation. The observable consequences of these operations in their systematic correlation with one another finally determine the scientific worth of the deduced principle. 

Источник: J. Dewey. Logic. The theory of Inquiry, 1938. P. 11 (Henry Holt & Company).

[3.5] В дедуктивном подходе достаточно единственного цепочки рассуждений для доказательства истинности утверждения. Но очевидно, что в эмпирических науках такой подход не работает. Errare humanum est. Больше тысячи лет думали, что чем тяжелее тело, тем быстрее оно падает, что кристаллы бывают только у льда и т.п. 

ПРИМЕР. A vague and loose mode of looking at facts very easily observable, left men for a long time under the belief 
— that a body, ten times as heavy as another, falls ten times as fast;
— that objects immersed in water are always magnified, without regard to the form of the surface;
— that the magnet exerts an irresistible force;
— that crystal is always found associated with ice — and the like. 
These and many others are examples how blind and careless men can be, even in observation of the plainest and commonest appearances; and they show us that the mere faculties of perception, although constantly exercised upon innumerable objects, may long fail in leading to any exact knowledge.

Источник: W. Whewell. Novum Organon Renovatum, 1858. P. 61.

Ошибка 4. ИНДУКТИВНЫЙ МЕТОД

Наблюдение
У простых математических объектов есть несовершенные аналоги в реальности. Есть реальные треугольники, а есть геометрические. Есть наборы реальных предметов, а есть числа. 

Ошибочный вывод
Математика индуктивна, и истины математики возникают как идеализации опыта. Строгая необходимость математики иллюзорна. Для науки же это означает тотальность индуктивного метода: то есть, что открытие нового всегда есть индукция из эмпирических фактов.

ПРИМЕР. По моему мнению, эта «необходимость» истин математики и та особая достоверность, какую (с некоторыми ограничениями, о которых мы скажем ниже) им приписывают, есть просто-напросто иллюзия. Для оправдания ее необходимо предположить, что эти истины относятся к чисто изображаемым предметам, что они указывают свойства некоторых продуктов воображения. Признано, что заключения геометрии выводятся — по крайней мере, отчасти — из так называемых «определений»; и полагают, что эти определения, поскольку они касаются предметов, правильно изображают те вещи, с которыми имеет дело геометрия. [...]

Точки линии, круги, квадраты, как их кто бы то ни было мыслит, суть, по моему мнению, только копии точек, линий, кругов, квадратов и т. д., известных человеку из его опыта. Идея точки есть, думается мне, просто наша идея о наименьшей доли поверхности, какая только видима (minimum visible).

Источник: Дж. Ст. Милль. Система логики силлогистической и индуктивной. — М. Ленанд, 2011. – С. 203.

На самом деле в математике
[4.1] Математические объекты бывают разные. Простейшие из них действительно имеют аналоги в реальном мире: треугольники, кубы, траектории полета и т.д. Однако если мы выйдем за пределы начальной школы, то столкнемся с объектами, для которых привести «‎эмпирический базис» невозможно. Даже если мы перейдем просто к очень большим числам то столкнемся с трудностями:

ПРИМЕР. В самом деле, разве кто захочет утверждать, что наблюдает тот факт, который, согласно Миллю, содержится в определении 18-значного числа, и разве кто захочет отрицать, что такой числовой знак всё же имеет смысл?

Источник: Г. Фреге. Основоположения арифметики. – С. 148.

Другой пример, важная веха в математике — построение комплексных чисел. Это не результат индукции из наблюдений за явлениями природы, а изобретенное средство для решения полиномиальных уравнений.

В некотором смысле можно думать, что математические объекты вдохновлены реальными явлениями и задачами, причем часто из области физики. Владимир Арнольд со свойственной категоричностью настаивал на том, что все математические открытия вытекают из наблюдений явлений природы.

ПРИМЕР. Вопреки мнению большинства современных математиков, я, вслед за Пуанкаре, считаю математику частью физики, то есть экспериментальной наукой. Слово «математика» означает «точное знание», и соответствующие открытия были получены из наблюдений явлений природы.

Источник: В. И. Арнольд. Экспериментальная математика. — М. Фазис, 2005. – С. 4.

Однако В. Арнольд относил к «‎явлениям природы» в том числе факты элементарной математики: наглядные геометрические соображения, последовательности чисел, простые уравнения и т.п. Поэтому в конечном счете математические структуры возникают из внутренних потребностей и логики развития самой математики или ее приложений.

[4.2] При этом даже те структуры, которые имеют аналоги в реальном мире, возникают не в результате индукции из большого числа фактов. Мы не вводим понятие идеального круга, когда увидели множество неидеальных кругов в природе. Когда кто-то приходит с прикладной задачей к математику, тот вместо нее составляет другую, абстрактную задачу, которую уже сможет решить. Скорее, эту операцию можно назвать абстрагированием или идеализацией, и она не требует множества примеров.

ПРИМЕР. An engineer, or a business company (say, an insurance company), or a buyer (say, of land), or a physicist, finds it suits his purpose to ascertain what the necessary consequences of possible facts would be; but the facts are so complicated that he cannot deal with them in his usual way. He calls upon a mathematician and states the question. Now the mathematician does not conceive it to be any part of his duty to verify the facts stated. He accepts them absolutely without question. He does not in the least care whether they are correct or not. He finds, however, in almost every case that the statement has one inconvenience, and in many cases that it has a second. The first inconvenience is that, though the statement may not at first sound very complicated, yet, when it is accurately analyzed, it is found to imply so intricate a condition of things that it far surpasses the power of the mathematician to say with exactitude what its consequence would be. At the same time, it frequently happens that the facts, as stated, are insufficient to answer the question that is put. Accordingly, the first business of the mathematician, often a most difficult task, is to frame another simpler but quite fictitious problem (supplemented, perhaps, by some supposition), which shall be within his powers, while at the same time it is sufficiently like the problem set before him to answer, well or ill, as a substitute for it. This substituted problem differs also from that which was first set before the mathematician in another respect: namely, that it is highly abstract. All features that have no bearing upon the relations of the premisses to the conclusion are effaced and obliterated.

Источник: Ch. Peirce. The nature of mathematics. // Philosophical writings of Peirce. – P. 137 (Dover Publications, NY).

На самом деле в науке
[4.3] В эмпирической науке не получается все свести к индукции из фактов. Во-первых, невозможно провести четкую границу между фактом и теорией. Для формулировки фактов уже нужен понятийный аппарат. Более того, даже слова в языке уже являются абстракциями (а значит, элементом теории, некоторого видения), как отмечал еще Л. С. Выготский. Поэтому у нас всегда есть какая-то теория, если мы что-то сформулировали. Во-вторых, для того, чтобы начать собирать факты, уже нужны начальные представления и гипотезы, иначе «‎простое умножение фактов сбивает с толку»:

ПРИМЕР. Как правило, формирование гипотез — это наиболее трудная часть научной работы, и та ее часть, где необходимы большие способности. До сих пор не найдено ни одного метода, который сделал бы возможным изобретение гипотез по заранее установленным правилам. Обычно какая-нибудь гипотеза является необходимой предпосылкой для сбора фактов, так как для того чтобы отобрать факты, требуется какой-то метод определения того, что факты имеют отношение к делу. Без этого простое умножение фактов сбивает с толку. 

Источник: Б. Рассел. История западной философии и ее связи с политическими и социальными условиями от античности до наших дней. — Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2007. – С. 649.

[4.4] Нельзя свести науку к индукции, потому что индукция сама по себе не позволяет открывать новое. Факты сами по себе ни о чем не говорят. Камни бросали и видели падение все. Но кто, кроме И. Ньютона, сделал правильные выводы? 

ПРИМЕР. 19. Such accidents never happen to common men. Thousands of men, even of the most inquiring and speculative men, had seen bodies fall; but who, except Newton, ever followed the accident to such consequences? And in fact, how little of his train of thought was contained in, or even directly suggested by, the fall of the apple! If the apple fall, said the discoverer, 'why should not the moon, the planets, the satellites, fall?' But how much previous thought,what a steady conception of the universality of the laws of motion gathered from other sources, were requisite, that the inquirer should see any connexion in these cases! Was it by accident that he saw in the apple an image of the moon, and of every body in the solar system? [...]

Accordingly, as we have already noticed, great discoverers have often invented hypotheses which would not answer to all the facts, as well as those which would; and have fancied themselves to have discovered laws, which a more careful examination of the facts overturned.

Источник: W. Whewell. Novum Organon Renovatum, 1858. – P. 47, 78.

В итоге, индукция предстает, скорее, как способ доказательства или тип обоснования, при котором мы переносим свойство, верное для выборки, на всю совокупность объектов. Именно в этом состоит индуктивный переход, а каноны сходства, различия, остатков и сопутствующих изменений Дж. Ст. Милля мы считаем формами доказательств уже найденных закономерностей, а не способами их открытия. 

Ошибка 5. АПРИОРНЫЕ ИСТИНЫ

Наблюдение
Математические теоремы вытекают из самоочевидных истин — аксиом, для получения которых не нужен никакой опыт. Интуитивно понятно, что аксиомы геометрии истинны.

Ошибочный вывод
Существуют истинные априорные идеи. Они схватываются интеллектуальной интуицией. И они определяют то, как будет структурироваться наши чувственные восприятия, то как мы будем описывать свой опыт.

Если в предыдущих пунктах ошибки были однозначными с наших современных позиций, то эта ошибка намного тоньше. Её суть не в том, что у нас нет понятий, базовых представлений или идей, которые структурируют опыт. Ошибочность в том, что мы утверждаем интуитивную и априорную постижимость максим и приписываем им окончательную истинность. Таковы были позиции Р. Декарта и (несколько упрощая) И. Канта, который прямо писал, что строит свою метафизику по аналогии с математикой, логикой и физикой.

ПРИМЕР. Математика и физика — это две теоретические области познания разумом, которые должны определять свои объекты a priori, первая совершенно чисто, а вторая чисто по крайней мере отчасти, а далее-также по данным иных, чем разум, источников познания.

С самых ранних времен, до которых простирается история человеческого разума, математика пошла верным путем науки у достойных удивления древних греков. Однако не следует думать, что математика так же легко нашла или, вернее, создала себе этот царский путь, как логика, в которой разум имеет дело только с самим собой; наоборот, я полагаю, что она долго действовала ощупью (особенно у древних египтян), и перемена, равносильная революции, произошла в математике благодаря чьей-то счастливой догадке, после чего уже нельзя было не видеть необходимого направления, а верный путь науки был проложен и предначертан на все времена и в бесконечную даль. [...]

Я полагал бы, что пример математики и естествознания, которые благодаря быстро совершившейся в них революции стали тем, что они есть в настоящее время, достаточно замечателен, чтобы поразмыслить над сущностью той перемены в способе мышления, которая оказалась для них столь благоприятной, и чтобы по крайней мере попытаться подражать им, поскольку это позволяет сходство их с метафизикой основанных на разуме знаний.

Источник: И. Кант. Критика чистого разума. – М. Мысль, 1994. – С. 15-17.

На самом деле в математике
[5.1] Со времен И. Канта математика очень сильно изменилась. В первую очередь появилось множество геометрий (начиная с геометрии Н. И. Лобачевского) и множество логик (начиная, скажем, с интуиционистской логики). Из-за этого сама собой сошла на нет догматическая установка на истинность и соответствие реальности базовых арифметических и геометрических представлений. И теперь мы воспринимаем математические формализмы как соглашения. Не истинные и не ложные, и легко заменяемые при необходимости. Это просто правила некоторых формальных игр, которые математик сформулировал и дальше по этим правилам конструирует теорию. Единственное, чего мы хотим от этих правил, — чтобы они давали богатые результаты для математики  и, по возможности, полезные приложения. (Разные математики по-разному смотрят на значимость приложений).

ПРИМЕР. This conception of the nature of axioms is no longer held in mathematics nor in the logic of mathematics. Axioms are now held to be postulates, neither true nor false in themselves, and to have their meaning determined by the consequences that follow because of their implicatory relations to one another. The greatest freedom is permitted, or rather encouraged, in laying down postulates — a freedom subject only to the condition that they be rigorously fruitful of implied consequences. 

Источник: J. Dewey. Logic. The theory of Inquiry, 1938. – P. 10 (Henry Holt & Company).

Вот как А. Эйнштейн описывал современное восприятие геометрии:

ПРИМЕР. The older interpretation: — Everyone knows what a straight line is, and what a point is. Whether this knowledge springs from an ability of the human mind or from experience, from some collaboration of the two or from some other source, is not for the mathematician to decide. He leaves the question to the philosopher. Being based upon this knowledge, which precedes all mathematics, the axiom stated above is, like all other axioms, self-evident, that is, it is the expression of a part of this a priori knowledge.

The more modern interpretation: — Geometry treats of entities which are denoted by the words straight line, point, etc. These entities do not take for granted any knowledge or intuition whatever, but they presuppose only the validity of the axioms, such as the one stated above, which are to be taken in a purely formal sense., i.e. as void of all content of intuition or experience. These axioms are free creations of the human mind. All other propositions of geometry are logical inferences from the axioms (which are to be taken in the nominalistic sense only). The matter of which geometry treats is first defined by the axioms. Schlick in his book on epistemology has therefore characterised axioms very aptly as "implicit definitions."

Источник: A. Einstein. Geometry and Experience.

[5.2] При этом действительно существуют базовые принципы, которые лежат в основе математики или логики — формальных наук. В классической логике, например, это законы тождества, противоречия и исключенного третьего. Но это не максимы, с которых мы начинаем рассуждение. Дело в том, что эти принципы вырабатываются и формулируются в ходе практики самих исследователей как правила, гарантирующие истинные в этой науке результаты. Работая по этим правилам мы получаем такую-то правильную логику. 

ПРИМЕР. The character of the generalization of the relation of "first principles" and conclusions (in mathematical and physical science) may be illustrated by the meaning of first principles in logic; such as traditionally represented by the principles, say, of identity, contradiction and excluded middle. According to one view, such principles represent ultimate invariant properties of the objects with which methods of inquiry are concerned, and to which inquiry must conform. According to the view here expressed, they represent conditions which have been ascertained during the conduct of continued inquiry to be involved in its own successful pursuit. The two statements may seem to amount to the same thing. Theoretically, there is a radical difference between them. For the second position implies, as has already been stated, that the principles are generated in the very process of control of continued inquiry, while, according to the other view, they arc a priori principles fixed antecedently to inquiry and conditioning it ah extra. 

Источник: J. Dewey. Logic. The theory of Inquiry, 1938. – P. 11-12 (Henry Holt & Company).

На самом деле в науке
[5.3] Априоризм подразумевает, что истины мы постигаем интуитивно, без помощи опыта. Однако еще во второй половине XIX века Ч. Пирс в своей статье «‎Вопросы относительно некоторых способностей, приписываемых человеку» приводит более десятка доводов, почему нельзя положиться на интуицию. Один из них — исторический. В Средние века ссылка на внешний авторитет считалась конечным аргументом в доказательстве, а потом оказалось, что это вовсе не аргумент. Так почему же мы сейчас уверены в том, что ссылка на внутренний авторитет не окажется таким же колоссом на глиняных ногах? Познакомиться с другими аргументами о невозможности отличить восприятие факта от выводов, сны от реальности, изученное от интуитивно усвоенного — можно, обратившись к статье Ч. Пирса. 

ПРИМЕР. There is no evidence that we have this faculty [intuitive cognition], except that we seem to feel that we have it. But the weight of that testimony depends entirely on our being supposed to have the power of distinguishing in this feeling whether the feeling be the result of education, old associations, etc., or whether it is an intuitive cognition; or, in other words, it depends on presupposing the very matter testified to. Is this feeling infallible? And is this judgment concerning it infallible and so on, ad infinitum? Supposing that a man really could shut himself up in such a faith, he would be, of course, impervious to the truth, "evidence-proof."

But let us compare the theory with the historic facts. The power of intuitively distinguishing intuitions from other cognitions has not prevented men from disputing very warmly as to which cognitions are intuitive. In the middle ages, reason and external authority were regarded as two coordinate sources of knowledge, just as reason and the authority of intuition are now; only the happy device of considering the enunciations of authority to be essentially indemonstrable had not yet been hit upon. All authorities were not considered as infallible, any more than all reasons; but when Bcrengarius said that the authoritativeness of any particular authority must rest upon reason, the proposition was scouted as opinionated, impious, and absurd.

Thus, the credibility of authority was regarded by men of that time simply as an ultimate premise, as a cognition not determined by a previous cognition of the same object, or, in our terms, as an intuition. It is strange that they should have thought so, if, as the theory now under discussion supposes, by merely contemplating the credibility of the authority, as a Fakir does his God, they could have seen that it was not an ultimate premise! Now, what if our internal authority should meet the same fate, in the history of opinions, as that external authority has met? Can that be said to be absolutely certain which many sane, well-informed, and thoughtful men already doubt? 

Источник: Ch. Peirce. Questions Concerning Certain Faculties Claimed for Man.

[5.4] И. Кант писал: «‎Но хотя всякое наше познание и начинается с опыта, отсюда вовсе не следует, что оно целиком происходит из опыта». И это действительно так. Казалось бы, столь надежные «‎чувственный опыт» и «‎факты» оказались очень условными абстракциями. Нельзя провести границу между фактом и теорией. Для формулировки любого факта нужно уже обладать некоторыми представлениями. Первым в явном виде это сформулировал У. Хьюэлл, а в XX веке эта проблема стала называться «‎теоретической нагруженностью факта / наблюдения».

Например, чтобы измерить силу тока, нужно знать соответствующие физические законы, лежащие в основе работы измерительного прибора. Более того, чтобы хоть что-то сформулировать, нужно знать язык. А слова языка – это тоже некоторая теория, некоторый способ выделения кусков реальности. И ниоткуда не следует, что наш язык дает верный и универсальный способ описания реальности. 

Итак, всегда есть нечто, что структурирует наш опыт, структурирует наше чувственное восприятие. Только это не набор абсолютно истинных априорных интуиций, а психофизиология восприятия, особенности языка, уже имеющиеся теории и предубеждения.

Выводы

[6.1]  Математика — формальная наука. То есть, наука о конструировании полезных формальных моделей, где:
а) формальная модель — формальные объекты, их свойства и взаимосвязи;
б) формальные объекты — условные конструкты, а не объекты реальности.
в) свойства и взаимосвязи в формальных системах — логически необходимые, что значит, они могут быть доказаны с помощью дедуктивных рассуждений;
г) содержание и польза формальных моделей на практике определяется их интерпретацией и степенью соответствия реальным явлениям.

Источник: M. Bunge. Philosophy of science and technology. P. 1 (D. Reidel Publishing Company).

ПРИМЕР. What makes the mathematical study of conceptual systems unique is that (a) it is purely conceptual (i.e. does not make essential use of any empirical data or procedures) and it involves, at some point or other, (b) positing or conjecturing the laws (general patterns) satisfied by the members of those conceptual systems, as well as (c) proving or disproving conclusively some such conjectures (Mathematical proofs are perfectible, but they are conclusive.) [...]

We may then define contemporary pure mathematics as the investigation, by conceptual (a priori) means, of problems about conceptual systems, or members of such, with the aim of finding (inventing or discovering) the patterns satisfied by such objects - a finding justified only by rigorous proof. On the other hand we define contemporary applied mathematics as the investigation of problems arising in factual science, technology, or the humanities, with the help of constructs belonging to pure mathematics. (Occasionally the applied mathematician may have to supply such constructs himself, but to him they are means, not ends.)

Applied mathematics is then distinguished from pure mathematics by (a) the source of problems, which is extramathematical in the former case and internal in the latter; (b) the ultimate referents, which are real things in the case of applied mathematics, and constructs in the other case, and (c) the aim, which is to help some nonmathematical discipline in the first case, and to advance pure mathematics in the second.

Источник: M. Bunge. Philosophy of science and technology. P. 22 (D. Reidel Publishing Company).

[6.2] ОШИБОЧНАЯ СВЯЗЬ 1. Смешение формальных и эмпирических наук. Особенности специфических методов наук о формальных системах неэффективно переносить на эмпирические науки: дедуктивные доказательства, абсолютная однозначность определений, сочетаемость идей. Такие «‎метафоры» математики корректны только в рамках наук о формальных системах (математика, статистика, небесная механика, теория игр, логика, теоретическая лингвистика, теория алгоритмов…).

[6.3] КОРРЕКТНАЯ СВЯЗЬ 2. Приложения. Эффективно использовать приложения математики в хорошо формализуемых задачах других наук.

[6.4] КОРРЕКТНАЯ СВЯЗЬ 3. Методология исследования и логика открытия. Единый и для математики и для других наук переход от известного к неизвестному с помощью эвристик открытия, доказательств и опровержений:  

Эти эвристики – не индукция и не дедукция (детально разберем этот момент в следующей статье). 

ПРИМЕР. Математическая эвристика очень похожа на научную эвристику — не потому, что обе являются индуктивными, но потому, что обе характеризуются догадками, доказательствами и опровержениями. Важная разница заключается в природе соответствующих догадок, доказательств (в науке - объяснений) и контрапримеров.

Источник: И. Лакатош. Доказательства и опровержения. – М. ЛКИ, 2010. – С. 103.

 

ПРИМЕР. Actually all this shows is that mathematicians are not disembodied spirits but whole organisms whose brains include sensorimotor systems connected with the rest of the body. It also shows that a mathematician uses a single brain whether to prove a theorem or solve some practical problem. Like anyone else, the mathematician is bound to use analogy and induction, and to try conjectures until hitting on the correct solution. [...]

Whether invented or discovered, an original mathematical contribution is a creation: it brings to light something we did not know before. Of course, logicians tend to think that all the infinitely many components of a theory are born the moment the postulates are laid down. But this is just a façon de parler: a theorem that has not been proved, let alone guessed, is nowhere: it does not exist except potentially..

Источник: M. Bunge. Philosophy of science and technology. P. 18, 25 (D. Reidel Publishing Company).

[6.5] Исследовательские темы:
— Эвристики открытия в математике (начинать с прочтения работы Дж. Пойа «‎Математическое открытие», требуется хотя бы минимальный опыт математических исследований).
— Эвристики открытия в науке Х (начинать с прочтения работы Г. С. Альтшуллера «‎Как делаются открытия», требуется хотя бы минимальный опыт исследований в науке Х).

Список литературы

  1. Арнольд В. И. Экспериментальная математика. — М. Фазис, 2005.
  2. Бэкон Ф. О достоинстве и приумножении наук. // Сочинения Т. 1. – М. Мысль, 1971.
  3. Кант И. Критика чистого разума. – М. Мысль, 1994.
  4. Лакатош И. Доказательства и опровержения. – М. ЛКИ, 2010.
  5. Локк Дж. Сочинения в 3-х томах. Том 1. – М. Мысль, 1985.
  6. Милль Дж.Ст. Система логики силлогистической и индуктивной. — М. Ленанд, 2011.
  7. Пуанкаре А. О науке. – М. Наука, 1990.
  8. Рассел Б. История западной философии. – Сиб. ун. изд-во. 2007.
  9. Фреге Г. Основоположения арифметики.
  10. Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. – М. Прогресс, 1980.
  11. Юм Д. Собрание сочинений в 2-х томах. – М. Мысль, 1996.
  12. Bunge M. Philosophy of science and technology (D. Reidel Publishing Company).
  13. Dewey J. Logic. The theory of Inquiry, 1938 (Henry Holt & Company).
  14. Einstein A. Geometry and Experience.
  15. Peirce Ch. Principles of philosophy. §55.
  16. Peirce Ch. Questions Concerning Certain Faculties Claimed for Man
  17. Peirce Ch. The nature of mathematics. // Philosophical writings of Peirce. (Dover Publications, NY).
  18. Whewell W. Novum Organon Renovatum, 1858.

Смотрите видеоверсию доклада на нашем YouTube-канале:

Сильные разработки создаются не в одиночку, а в коллективе. LIVREZON CLUB объединяет более 50-ти коллективов в разных отраслях научного знания. В ежедневном режиме они делятся опытом, собирают новые данные, пишут книги и статьи, тестируют технологии и получают друг от друга полезную обратную связь. 

Хотите присоединиться к коллективу разработчиков? Пишите на info@livrezon.com

Следующая статья
Livrezon-технологии
Музыка и звук в видеоиграх: функции и приемы
Музыка и звук в видеоиграх решают большой спектр задач. Собирая и обрабатывая материалы для своего исследования, я вижу схожие идеи и подходы. В этой статье я поделюсь промежуточными результатами и расскажу о пяти функциях, которые выполняют музыка и звук. Чтобы сделать их более понятными, для каждой функции я подобрал иллюстрирующие примеры. Некоторые из них стандартны, другие же отличаются большей креативностью, которую специалисты оценят по достоинству.  ФУНКЦИЯ #1. Передать физические ощущения Одна из проблем, и,...
Livrezon-технологии
Музыка и звук в видеоиграх: функции и приемы
Теория Творчества
Как найти новые решения? Модификации экспериментов по Фрэнсису Бэкону
Гуманитарные науки
Фрэнсис Бэкон об истинных пределах человеческому знанию
Livrezon-технологии
Запись #45. Разбор статьи «Игра в мяч – взгляд непрофессионала», часть 2
Livrezon-технологии
«Наши поступки – галантны, а поведение других – блудливо», или как научиться мыслить беспристрастно
Гуманитарные науки
Свойства системы не сводятся к свойствам ее частей / Аристотель
Livrezon-технологии
ДНЕВНИК ПЕДАГОГА. Запись #52: Как я написала статью
Livrezon-технологии
Прием «инверсия» как элемент культуры / СТРАТЕГИИ ТВОРЧЕСТВА – 50
Гуманитарные науки
Анри Пуанкаре о контринтуитивных моделях
Livrezon-технологии
Как создать собственный жанр?
Livrezon-технологии
Как окружение мешает интеллектуалу? 6 типов негативных воздействий
Livrezon-технологии
ДНЕВНИК ПЕДАГОГА. Запись #51: Зачем звать себя по имени?
Гуманитарные науки
Георг Гегель о категориях эстетики: правильность, симметрия, закономерность и гармония
Livrezon-технологии
50 признаков НЕуспешного автора: как издательство «LIVREZON» оценивает потенциальных авторов
Livrezon-технологии
Ученики плохо выполняют домашнее задание. Как быть? Статья Игоря Перунова