Математика как образец для других наук: ошибочные аналогии. Статья Дмитрия Матвеева

ПРИМЕР. Изменения критерия «строгости доказательства» производят в математике большие революции. Пифагорейцы считали, что строгие доказательства могут быть только арифметическими. Однако они открыли строгое доказательство, что корень из числа два был «иррациональным». Когда этот скандал вышел наружу, то критерий был изменен: арифметическая интуиция была дискредитирована и ее место заняла геометрическая интуиция. Это означало большую и сложную реорганизацию математического знания (была введена теория пропорций). В восемнадцатом столетии «вводящие в заблуждение» чертежи испортили репутацию геометрические доказательств и девятнадцатый век увидел снова арифметическую интуицию, воцарившуюся при помощи сложной теории действительных чисел. Сегодня основные споры идут о том, что является или не является строгим в теоретико-множественных и математических доказательствах, как это видно из хорошо известной дискуссии о допустимости мысленных экспериментов Цермело и Гентцена.

Источник: И. Лакатош. Доказательства и опровержения. – М.: ЛКИ, 2010. – С. 74.

ПРИМЕР. Пусть некоторый человек, такой, как Адам, созданный обладающим полной силой разума, не обладает опытом. Тогда он никогда не будет в состоянии вывести движение второго шара из движения и толчка первого. Выводить действие заставляет нас не какая-либо вещь, которую разум усматривает в причине. Такой вывод, будь он возможен, был бы равносилен демонстративному доказательству, ибо он всецело основан на сравнении идей. Но ни одно заключение от причины к действию не равносильно демонстрации, что явствует из следующего очевидного рассуждения. Ум всегда может представить, что какое-либо действие вытекает из какой-либо причины и даже что какое- либо произвольное событие следует после какого-то другого. Все, что бы мы ни вообразили, возможно по крайней мере в метафизическом смысле; но всякий раз, когда имеет место демонстративное доказательство, противоположное невозможно и влечет за собой противоречие. Следовательно, не существует демонстративного доказательства какого-либо соединения причины и действия. И это принцип, который философы признают всюду. 

Следовательно, для Адама (если ему это не дано было через вдохновение) необходимо было бы иметь опыт, свидетельствующий, что действие следует за столкновением этих двух шаров. Он должен на нескольких примерах наблюдать, что, когда один шар сталкивается с другим, второй всегда приобретает движение. Если бы он наблюдал достаточное число примеров этого рода, то всякий раз, когда бы он видел один шар, двигающийся по направлению к другому, он бы заключал без колебаний, что второй приобретет движение. Его разум предвосхищал бы его взор и осуществлял бы умозаключение, соответствующее его прошлому опыту. 

Отсюда следует, что все рассуждения относительно причины и действия основаны на опыте и что все рассуждения из опыта основаны на предположении, что в природе будет неизменно сохраняться один и тот же порядок. Мы заключаем, что сходные причины при сходных обстоятельствах всегда будут производить подобные действия. Теперь, может быть, стоит рассмотреть, что побуждает нас образовывать умозаключения с таким бесконечным количеством следствий.

Источник: Д. Юм. Сокращенное изложение трактата о человеческой природе. // Собрание сочинений в 2-х томах. – М.: Мысль, 1996. – С. 664.

ПРИМЕР. We have seen how success in mathematics would necessarily create a confidence altogether unfounded in man's power of eliciting truth by inward meditation without any aid from experience. Both its confidence in what is within and the absolute certainty of its conclusions lead to the confusion of a priori reason with conscience. For conscience, also, refuses to submit its dicta to experiment, and makes an absolute dual distinction between right and wrong. One result of this is that men begin to rationalize about questions of purity and integrity, which in the long run, through moral decay, is unfavorable to science. But what is worse, from our point of view, they begin to look upon science as a guide to conduct, that is, no longer as pure science but as an instrument for a practical end. One result of this is that all probable reasoning is despised. If a proposition is to be applied to action, it has to be embraced, or believed without reservation. There is no room for doubt, which can only paralyze action. But the scientific spirit requires a man to be at all times ready to dump his whole cart-load of beliefs, the moment experience is against them. The desire to learn forbids him to be perfectly cocksure that he knows already. Besides positive science can only rest on experience; and experience can never result in absolute certainty, exactitude, necessity, or universality. But it is precisely with the universal and necessary, that is, with Law, that [con]science concerns itself. Thus the real character of science is destroyed as soon as it is made an adjunct to conduct; and especially all progress in the inductive sciences is brought to a standstill. 

Источник: Ch. Peirce. Principles of philosophy. §55.

ПРИМЕР. Я полагаю, что математика является главным источником веры в вечную и точную истину, как и в сверхчувственный интеллигибельный мир. Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чувственный объект не является точно круглым; и как бы мы тщательно ни применяли наш циркуль, окружности всегда будут до некоторой степени несовершенными и неправильными. Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Мистические доктрины по поводу соотношения времени и вечности также получают поддержку от чистой математики, ибо математические объекты, например, числа (если они вообще реальны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут в свою очередь быть истолкованы как мысли Бога. Отсюда платоновская доктрина, согласно которой Бог является геометром, а также представление сэра Джеймса Джинса о том, что Бог предается арифметическим занятиям. Со времени Пифагора, а особенно Платона, рационалистическая религия, являющаяся противоположностью религии откровения, находилась под полным влиянием математики и математического метода. 

Начавшееся с Пифагора сочетание математики и теологии характерно для религиозной философии Греции, средневековья и Нового времени вплоть до Канта. До Пифагора орфизм был аналогичен азиатским мистическим религиям. Но для Платона, св. Августина, Фомы Аквинского, Декарта, Спинозы и Канта характерно тесное сочетание религии и рассуждения, морального вдохновения и логического восхищения тем, что является вневременным, - сочетание, которое начинается с Пифагора и которое отличает интеллектуализированную теологию Европы от более откровенного мистицизма Азии. Только в самое последнее время стало возможным ясно сказать, в чем состояла ошибка Пифагора. И я не знаю другого человека, который был бы столь влиятельным в области мышления, как Пифагор. Я говорю так потому, что кажущееся платонизмом оказывается при ближайшем анализе в сущности пифагореизмом. С Пифагора начинается вся концепция вечного мира, доступного интеллекту и недоступного чувствам. Если бы не он, то христиане не учили бы о Христе как о Слове; если бы не он, теологи не искали бы логических доказательств бытия Бога и бессмертия. У Пифагора все это дано еще в скрытой форме. Как это стало явным, будет показано в дальнейшем. 

Источник: Б. Рассел. История западной философии. – Сиб. ун. изд-во. 2007. – С. 71-72.

ПРИМЕР. ...экспериментальные доказательства предпочтительнее математических, так как последние основаны на предположениях и постулатах, которые легко могут вести к ошибкам, вследствие абстрактной природы математических объектов. 

Источник: Р. Бойль. The Works, London, 1772. Vol. 2. Pр. 739-740.

ПРИМЕР. Однако известно, что некоторые философы как в старой, так и в новой Академии, а еще больше среди скептиков в буквальном смысле восприняли этот принцип акаталепсии. Их главная вина заключалась прежде всего в том, что они клеветали на чувственные восприятия и тем самым в корне подрывали всякое знание. Ведь хотя чувства довольно часто обманывают и вводят в заблуждение, однако в союзе с активной деятельностью человека они могут давать нам вполне достаточные знания; и это достигается не столько с помощью инструментов (хотя и они в известной мере оказываются полезными), сколько благодаря экспериментам, способным объекты, недоступные нашим органам чувств, сводить к чувственно воспринимаемым объектам. Скорее они должны были бы приписать этот недостаток как ошибкам разума, так и его самоуверенности (не желающей считаться с самыми реальными вещами), а также неверным доказательствам и методам рассуждения и умозаключения из чувственных восприятий. 

Мы говорим об этом не для того, чтобы умалить значение интеллекта или чтобы объявить тщетными все его попытки; наша цель состоит в том, чтобы найти и предоставить интеллекту необходимую помощь, благодаря которой он сможет преодолеть все трудности и раскрыть тайны природы. Ведь ни один человек не обладает такой твердой и опытной рукой, чтобы быть способным провести прямую линию или начертить совершенный круг, тогда как он легко может сделать это с помощью линейки или циркуля. Именно это мы и собираемся сделать; к подобной цели и направлены все наши усилия: с помощью особой науки сделать разум адекватным материальным вещам, найти особое искусство указания и наведения (directio), которое раскрывало бы нам и делало известным остальные науки, их аксиомы и методы. Мы с полным основанием утверждаем, что такая наука должна быть создана. 

Источник: Ф. Бэкон. О достоинстве и приумножении наук. // Сочинения. Том 1. – М. Мысль, 1971. – С. 296-300.

ПРИМЕР. «‎Бытовой» пример с более конкретными цифрами.
Компания, занятая интернет торговлей, затеяла масштабное обновление своей программноаппаратной платформы. В течение года несколько команд разработчиков пытались создать работающие версии основных сайтов, но при каждой демонстрации выяснялось, что работа сайта не соответствует процессам, выстроенным в компании в последние 15 лет.

Итог: Потрачено >$1 млн на разработку обновления. Сайты не были запущены, а связанные с ними проекты закрыты. Компания живет за счет старой ИС, созданной еще на заре ее существования и не поддающейся обновлению. Из-за устаревания платформы и накопления ошибок более совершенные технически конкуренты давят на компанию.

Источник: Р. Р. Зайруллин. LEGACY SOFTWARE: Как заставить чужой код работать? – Издательство LIVREZON, 2019.

ПРИМЕР. Среди ученых было общепринятым мнение, будто максимы являются основами всякого познания и что каждая наука построена на определенных praecognita, которые дают разуму его отправную точку и которыми он должен руководствоваться в своих исследованиях вопросов данной науки. Отсюда избитый прием схоластов — начинать с одного или нескольких общих положений в качестве оснований, на которых нужно построить приобретаемое знание о данном предмете. Положенные таким образом в основу всякой науки тезисы были названы принципами как начала, от которых мы должны исходить в своих исследованиях и дальше которых мы не должны смотреть вглубь, как мы это уже заметили. 

Источник: Дж. Локк. Сочинения в 3-х томах. – Том 1. – М. Мысль, 1985. – С. 117.

ПРИМЕР. Ч. Броуд назвал нерешенность проблемы индукции скандалом в философии. Мне кажется, что наряду со скандалом в связи с индукцией существует не менее тревожащий скандал, связанный с дедукцией. В наличии его нетрудно убедиться, выслушав следующий вопрос, заданный сообразительным первокурсником после того, как ему сообщили, что дедуктивное рассуждение «тавтологично», или «аналитично», а логические истины не имеют «эмпирического содержания» и не могут быть использованы, чтобы делать «фактуальные утверждения»,— в каком же смысле тогда дедуктивное рассуждение дает нам новую информацию? Такой смысл, очевидно, должен существовать, так как в противном случае непонятно, откуда берется все богатое содержание логики и математики. Этот вопрос действительно вызывает явное замешательство.

Источник: Я. Хинтикка. Логико-эпистемологические исследования. – М. Прогресс, 1980. – С. 158.

ПРИМЕР. ...нельзя сказать, что мы даже в действительно аналитической и дедуктивной части математических рассуждений двигались от общего к частному в обычном смысле слова. [...]

...математики действуют, применяя процесс «‎конструирования»; они конструируют сочетания все более и более сложные. Возвращаясь затем путем анализа этих сочетаний — этих, так сказать, совокупностей — к их первоначальным элементам, они раскрывают отношения этих элементов и выводят отсюда отношения самих совокупностей. [...]

Конструирование становится интересным только тогда, когда его можно сравнить с другими аналогичными конструкциями, образующими виды того же родового понятия. Необходимо еще, чтобы было возможно доказывать родовые свойства, не будучи вынужденным обосновывать их последовательно для каждого вида. Чтобы достигнуть этого, необходимо вновь подняться от частного к общему, пройдя одну или несколько ступеней.

Источник: А. Пуанкаре. О науке. – М. Наука, 1990. – С. 22-24.

ПРИМЕР. В чем, в самом деле, состоит математическое творчество? Оно заключается не в создании новых комбинаций с помощью уже известных математических объектов. Это может сделать мало ли кто; но число комбинаций, которые можно найти этим путем, было бы бесконечно, и даже самое большое их число не представляло бы ровно никакого интереса. Творчество состоит как раз в том, чтобы не создавать бесполезных комбинаций, а строить такие, которые оказываются полезными; а их ничтожное меньшинство. Творить это отличать, выбирать.

Источник: А. Пуанкаре. О науке. – М. Наука, 1990. – С. 403.

ПРИМЕР. Эвристическое предшествование результата перед аргументацией или теоремы перед доказательством глубоко укоренилось в математическом фольклоре. Приведем несколько вариаций на знакомую тему: 
• говорят, что Хризипп написал Клеанфу: «Пришли только мне теоремы и тогда я найду доказательства» [Диоген Лаэрций (ок. 200), VII, 179]. 
• Говорят, что Гаусс жаловался: «Я уже давно имел мои результаты, но я еще не знаю, как мне к ним прийти» [см. Арбер (Arber, 1954), стр. 77)]
• и Риман: «Если бы я только имел теоремы! Тогда я смог бы достаточно легко найти доказательства» [См. Гëльдер (Hölder, 1924), стр. 487]. 
• Полья подчеркивает: «Вы должны угадать математическую теорему, прежде чем вы ее докажете» [(1954), т. 1, стр. VI].

Источник: И. Лакатош. Доказательства и опровержения. – М. ЛКИ, 2010. – С. 17.

ПРИМЕР. Rigorous proof by deduction, unlike rigorous refutation by counterexample, is distinctively mathematical. For this reason proof is often regarded as the heart of mathematics. But this is like saying that the heart of physics is hypothesis testing. Checking - proving theorems and disproving conjectures - may certainly take up most of the time of a mathematician, but it is not more important than looking for new problems, restating old problems in more suitable terms, conjecturing theorems or algorithms, building theories, or using them for solving problems. After all, most theorems must be hypothesized before they can be proved, and usually the motivation for conjecturing them is the need to solve some problem. In short, proof is certainly distinctive of mathematics, but there is more to doing mathematics than proving or disproving.

Источник: M. Bunge. Philosophy of science and technology. P.22 (D. Reidel Publishing Company).

ПРИМЕР. The same principle holds in physics. Mathematical formulae have now taken the place in physics once occupied by propositions about eternal essences and the fixed species defined by these essences. The formulae are deductively developed by means of rules of implication. But the value of the deduced result for physical science is not determined by the correctness of the deduction.  

The deductive conclusion is used to instigate and direct operations of experimental observation. The observable consequences of these operations in their systematic correlation with one another finally determine the scientific worth of the deduced principle. 

Источник: J. Dewey. Logic. The theory of Inquiry, 1938. P. 11 (Henry Holt & Company).

ПРИМЕР. A vague and loose mode of looking at facts very easily observable, left men for a long time under the belief 
— that a body, ten times as heavy as another, falls ten times as fast;
— that objects immersed in water are always magnified, without regard to the form of the surface;
— that the magnet exerts an irresistible force;
— that crystal is always found associated with ice — and the like. 
These and many others are examples how blind and careless men can be, even in observation of the plainest and commonest appearances; and they show us that the mere faculties of perception, although constantly exercised upon innumerable objects, may long fail in leading to any exact knowledge.

Источник: W. Whewell. Novum Organon Renovatum, 1858. P. 61.

ПРИМЕР. По моему мнению, эта «необходимость» истин математики и та особая достоверность, какую (с некоторыми ограничениями, о которых мы скажем ниже) им приписывают, есть просто-напросто иллюзия. Для оправдания ее необходимо предположить, что эти истины относятся к чисто изображаемым предметам, что они указывают свойства некоторых продуктов воображения. Признано, что заключения геометрии выводятся — по крайней мере, отчасти — из так называемых «определений»; и полагают, что эти определения, поскольку они касаются предметов, правильно изображают те вещи, с которыми имеет дело геометрия. [...]

Точки линии, круги, квадраты, как их кто бы то ни было мыслит, суть, по моему мнению, только копии точек, линий, кругов, квадратов и т. д., известных человеку из его опыта. Идея точки есть, думается мне, просто наша идея о наименьшей доли поверхности, какая только видима (minimum visible).

Источник: Дж. Ст. Милль. Система логики силлогистической и индуктивной. — М. Ленанд, 2011. – С. 203.

ПРИМЕР. В самом деле, разве кто захочет утверждать, что наблюдает тот факт, который, согласно Миллю, содержится в определении 18-значного числа, и разве кто захочет отрицать, что такой числовой знак всё же имеет смысл?

Источник: Г. Фреге. Основоположения арифметики. – С. 148.

ПРИМЕР. Вопреки мнению большинства современных математиков, я, вслед за Пуанкаре, считаю математику частью физики, то есть экспериментальной наукой. Слово «математика» означает «точное знание», и соответствующие открытия были получены из наблюдений явлений природы.

Источник: В. И. Арнольд. Экспериментальная математика. — М. Фазис, 2005. – С. 4.

ПРИМЕР. An engineer, or a business company (say, an insurance company), or a buyer (say, of land), or a physicist, finds it suits his purpose to ascertain what the necessary consequences of possible facts would be; but the facts are so complicated that he cannot deal with them in his usual way. He calls upon a mathematician and states the question. Now the mathematician does not conceive it to be any part of his duty to verify the facts stated. He accepts them absolutely without question. He does not in the least care whether they are correct or not. He finds, however, in almost every case that the statement has one inconvenience, and in many cases that it has a second. The first inconvenience is that, though the statement may not at first sound very complicated, yet, when it is accurately analyzed, it is found to imply so intricate a condition of things that it far surpasses the power of the mathematician to say with exactitude what its consequence would be. At the same time, it frequently happens that the facts, as stated, are insufficient to answer the question that is put. Accordingly, the first business of the mathematician, often a most difficult task, is to frame another simpler but quite fictitious problem (supplemented, perhaps, by some supposition), which shall be within his powers, while at the same time it is sufficiently like the problem set before him to answer, well or ill, as a substitute for it. This substituted problem differs also from that which was first set before the mathematician in another respect: namely, that it is highly abstract. All features that have no bearing upon the relations of the premisses to the conclusion are effaced and obliterated.

Источник: Ch. Peirce. The nature of mathematics. // Philosophical writings of Peirce. – P. 137 (Dover Publications, NY).

ПРИМЕР. Как правило, формирование гипотез — это наиболее трудная часть научной работы, и та ее часть, где необходимы большие способности. До сих пор не найдено ни одного метода, который сделал бы возможным изобретение гипотез по заранее установленным правилам. Обычно какая-нибудь гипотеза является необходимой предпосылкой для сбора фактов, так как для того чтобы отобрать факты, требуется какой-то метод определения того, что факты имеют отношение к делу. Без этого простое умножение фактов сбивает с толку. 

Источник: Б. Рассел. История западной философии и ее связи с политическими и социальными условиями от античности до наших дней. — Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2007. – С. 649.

ПРИМЕР. 19. Such accidents never happen to common men. Thousands of men, even of the most inquiring and speculative men, had seen bodies fall; but who, except Newton, ever followed the accident to such consequences? And in fact, how little of his train of thought was contained in, or even directly suggested by, the fall of the apple! If the apple fall, said the discoverer, 'why should not the moon, the planets, the satellites, fall?' But how much previous thought,what a steady conception of the universality of the laws of motion gathered from other sources, were requisite, that the inquirer should see any connexion in these cases! Was it by accident that he saw in the apple an image of the moon, and of every body in the solar system? [...]

Accordingly, as we have already noticed, great discoverers have often invented hypotheses which would not answer to all the facts, as well as those which would; and have fancied themselves to have discovered laws, which a more careful examination of the facts overturned.

Источник: W. Whewell. Novum Organon Renovatum, 1858. – P. 47, 78.

ПРИМЕР. Математика и физика — это две теоретические области познания разумом, которые должны определять свои объекты a priori, первая совершенно чисто, а вторая чисто по крайней мере отчасти, а далее-также по данным иных, чем разум, источников познания.

С самых ранних времен, до которых простирается история человеческого разума, математика пошла верным путем науки у достойных удивления древних греков. Однако не следует думать, что математика так же легко нашла или, вернее, создала себе этот царский путь, как логика, в которой разум имеет дело только с самим собой; наоборот, я полагаю, что она долго действовала ощупью (особенно у древних египтян), и перемена, равносильная революции, произошла в математике благодаря чьей-то счастливой догадке, после чего уже нельзя было не видеть необходимого направления, а верный путь науки был проложен и предначертан на все времена и в бесконечную даль. [...]

Я полагал бы, что пример математики и естествознания, которые благодаря быстро совершившейся в них революции стали тем, что они есть в настоящее время, достаточно замечателен, чтобы поразмыслить над сущностью той перемены в способе мышления, которая оказалась для них столь благоприятной, и чтобы по крайней мере попытаться подражать им, поскольку это позволяет сходство их с метафизикой основанных на разуме знаний.

Источник: И. Кант. Критика чистого разума. – М. Мысль, 1994. – С. 15-17.

ПРИМЕР. This conception of the nature of axioms is no longer held in mathematics nor in the logic of mathematics. Axioms are now held to be postulates, neither true nor false in themselves, and to have their meaning determined by the consequences that follow because of their implicatory relations to one another. The greatest freedom is permitted, or rather encouraged, in laying down postulates — a freedom subject only to the condition that they be rigorously fruitful of implied consequences. 

Источник: J. Dewey. Logic. The theory of Inquiry, 1938. – P. 10 (Henry Holt & Company).

ПРИМЕР. The older interpretation: — Everyone knows what a straight line is, and what a point is. Whether this knowledge springs from an ability of the human mind or from experience, from some collaboration of the two or from some other source, is not for the mathematician to decide. He leaves the question to the philosopher. Being based upon this knowledge, which precedes all mathematics, the axiom stated above is, like all other axioms, self-evident, that is, it is the expression of a part of this a priori knowledge.

The more modern interpretation: — Geometry treats of entities which are denoted by the words straight line, point, etc. These entities do not take for granted any knowledge or intuition whatever, but they presuppose only the validity of the axioms, such as the one stated above, which are to be taken in a purely formal sense., i.e. as void of all content of intuition or experience. These axioms are free creations of the human mind. All other propositions of geometry are logical inferences from the axioms (which are to be taken in the nominalistic sense only). The matter of which geometry treats is first defined by the axioms. Schlick in his book on epistemology has therefore characterised axioms very aptly as "implicit definitions."

Источник: A. Einstein. Geometry and Experience.

ПРИМЕР. The character of the generalization of the relation of "first principles" and conclusions (in mathematical and physical science) may be illustrated by the meaning of first principles in logic; such as traditionally represented by the principles, say, of identity, contradiction and excluded middle. According to one view, such principles represent ultimate invariant properties of the objects with which methods of inquiry are concerned, and to which inquiry must conform. According to the view here expressed, they represent conditions which have been ascertained during the conduct of continued inquiry to be involved in its own successful pursuit. The two statements may seem to amount to the same thing. Theoretically, there is a radical difference between them. For the second position implies, as has already been stated, that the principles are generated in the very process of control of continued inquiry, while, according to the other view, they arc a priori principles fixed antecedently to inquiry and conditioning it ah extra. 

Источник: J. Dewey. Logic. The theory of Inquiry, 1938. – P. 11-12 (Henry Holt & Company).

ПРИМЕР. There is no evidence that we have this faculty [intuitive cognition], except that we seem to feel that we have it. But the weight of that testimony depends entirely on our being supposed to have the power of distinguishing in this feeling whether the feeling be the result of education, old associations, etc., or whether it is an intuitive cognition; or, in other words, it depends on presupposing the very matter testified to. Is this feeling infallible? And is this judgment concerning it infallible and so on, ad infinitum? Supposing that a man really could shut himself up in such a faith, he would be, of course, impervious to the truth, "evidence-proof."

But let us compare the theory with the historic facts. The power of intuitively distinguishing intuitions from other cognitions has not prevented men from disputing very warmly as to which cognitions are intuitive. In the middle ages, reason and external authority were regarded as two coordinate sources of knowledge, just as reason and the authority of intuition are now; only the happy device of considering the enunciations of authority to be essentially indemonstrable had not yet been hit upon. All authorities were not considered as infallible, any more than all reasons; but when Bcrengarius said that the authoritativeness of any particular authority must rest upon reason, the proposition was scouted as opinionated, impious, and absurd.

Thus, the credibility of authority was regarded by men of that time simply as an ultimate premise, as a cognition not determined by a previous cognition of the same object, or, in our terms, as an intuition. It is strange that they should have thought so, if, as the theory now under discussion supposes, by merely contemplating the credibility of the authority, as a Fakir does his God, they could have seen that it was not an ultimate premise! Now, what if our internal authority should meet the same fate, in the history of opinions, as that external authority has met? Can that be said to be absolutely certain which many sane, well-informed, and thoughtful men already doubt? 

Источник: Ch. Peirce. Questions Concerning Certain Faculties Claimed for Man.

ПРИМЕР. What makes the mathematical study of conceptual systems unique is that (a) it is purely conceptual (i.e. does not make essential use of any empirical data or procedures) and it involves, at some point or other, (b) positing or conjecturing the laws (general patterns) satisfied by the members of those conceptual systems, as well as (c) proving or disproving conclusively some such conjectures (Mathematical proofs are perfectible, but they are conclusive.) [...]

We may then define contemporary pure mathematics as the investigation, by conceptual (a priori) means, of problems about conceptual systems, or members of such, with the aim of finding (inventing or discovering) the patterns satisfied by such objects - a finding justified only by rigorous proof. On the other hand we define contemporary applied mathematics as the investigation of problems arising in factual science, technology, or the humanities, with the help of constructs belonging to pure mathematics. (Occasionally the applied mathematician may have to supply such constructs himself, but to him they are means, not ends.)

Applied mathematics is then distinguished from pure mathematics by (a) the source of problems, which is extramathematical in the former case and internal in the latter; (b) the ultimate referents, which are real things in the case of applied mathematics, and constructs in the other case, and (c) the aim, which is to help some nonmathematical discipline in the first case, and to advance pure mathematics in the second.

Источник: M. Bunge. Philosophy of science and technology. P. 22 (D. Reidel Publishing Company).

ПРИМЕР. Математическая эвристика очень похожа на научную эвристику — не потому, что обе являются индуктивными, но потому, что обе характеризуются догадками, доказательствами и опровержениями. Важная разница заключается в природе соответствующих догадок, доказательств (в науке - объяснений) и контрапримеров.

Источник: И. Лакатош. Доказательства и опровержения. – М. ЛКИ, 2010. – С. 103.

ПРИМЕР. Actually all this shows is that mathematicians are not disembodied spirits but whole organisms whose brains include sensorimotor systems connected with the rest of the body. It also shows that a mathematician uses a single brain whether to prove a theorem or solve some practical problem. Like anyone else, the mathematician is bound to use analogy and induction, and to try conjectures until hitting on the correct solution. [...]

Whether invented or discovered, an original mathematical contribution is a creation: it brings to light something we did not know before. Of course, logicians tend to think that all the infinitely many components of a theory are born the moment the postulates are laid down. But this is just a façon de parler: a theorem that has not been proved, let alone guessed, is nowhere: it does not exist except potentially..

Источник: M. Bunge. Philosophy of science and technology. P. 18, 25 (D. Reidel Publishing Company).