Развитие абстрактного мышления: парадокс Зенона
«В науке необходимо удивляться...
Когда причина такого удивления
выражена в ясной форме, говорят,
что это научный парадокс».
Аркадий Мигдал
Две тысячи лет назад философы думали о мире, наполняли его абстракциями и обнаружили сложность жизни. Они пришли к тому, что их абстрактные рассуждения оказались оторваны от действительности, а логические – приводили к парадоксам. Физика тем временем только зарождалась. Когда современным детям выдают на руки учебники по физике и геометрии, они тоже начинают думать о мире и, если им «подкинуть» подходящие для размышления задачи, тоже могут обнаружить сложность жизни.
Я предлагаю ребятам подумать о парадоксе Зенона и логически доказать, что домашнее задание сделать совершенно невозможно. Но пусть они не спешат радовать учителей – сперва необходимо разобраться, в чем подвох, и убедиться, что абстрактные рассуждения могут быть оторваны от реальности.
Развивать у детей абстрактное мышление сложно. Необходимо подбирать такие задачи, чтобы решать их было не только сложно, но и интересно. Парадокс Зенона будто создан для того, чтобы школьники спросили (себя или учителя):
- Неужели мои рассуждения ошибочны?
- Неужели моих знаний недостаточно (или они неверны)?
- Правильно ли были поставлены вопросы?
- Что происходит в физическом мире?..
ШКОЛЬНИКАМ НА ЗАМЕТКУ
Вы не сделали домашнее задание по математике? Объясните это учителю так.
Оправдание 1. Я НЕ СМОГ НАЧАТЬ ДВИЖЕНИЕ, ЧТОБЫ ВЗЯТЬ ТЕТРАДЬ.
Оправдание 2. Я СМОГ ПОДОЙТИ К МОЕЙ ТЕТРАДИ НА БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ РАССТОЯНИЕ, НО ТАК И НЕ СМОГ ДО НЕЁ ДОТЯНУТЬСЯ.
◉ Дети недоверчиво слушают эти оправдания. На их лицах неуверенная улыбка, мол, «Что это за ерунда?». Но сказать этого они не могут – не принято говорить педагогам такие вещи. Поэтому они недоуменно смотрят и молчат. Для того чтобы объяснить ребятам красоту парадокса, необходимо вспомнить геометрию, историю, нарисовать отрезки и порассуждать…
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Начинать разговор о парадоксе лучше всего с числовой прямой. Мы живём в 2022 году. Когда происходили события, о которых пойдёт речь? Что за событие было в нулевом году? Когда вымерли динозавры? Когда люди начали откладывать камушки и появились натуральные числа? Многое можно обсудить, нарисовав числовой луч.
◉ Когда мы с детьми ставим на луче отмечаем 65 000 000 лет (тогда вымерли динозавры), я спрашиваю: «Дети, а когда пещерные люди начали считать?». Ответы бывают такие: «Миллион лет назад», «500 тысяч лет назад». Когда я рассказываю, что это случилось ≈ 32 тысячи лет назад, дети обычно ахают.
Парменид из Элеи (V в. до н.э.)
◉ Отметьте с детьми на числовой прямой пятый век до нашей эры.
Тогда Парменид сформулировал теорию познания, в которой противопоставил разумное знание чувственному – «доказательство» и «мнение».
◉ Примерно в V в. до н.э. в Древней Греции уже знали, что аргумент «Я чувствую» или «Мне кажется» не равен по своей силе аргументу «Я могу доказать». Дети удивляются этому: «Что, раньше люди этого не знали?». Так они показывают, что уж они-то это точно знают! Это всем известно! И теория Парменида их совсем не ошарашила!
Парменид заявил, что (1) всё сущее есть единое (мыслить о множественности нельзя) и что (2) движения нет.
◉ Дети: «Он что, псих?».
Как так – нет движения?! Это же смешно! Можно привести столько примеров движения: люди ходят, птицы летают, рыбы плавают, все они двигаются. Мы же видим – то есть, обращаемся к своему чувственному визуальному опыту, – движение!
Как так – всё едино?! Может быть, и пальцев у меня на руке – только один? Почему это я не могу подумать о множестве пальцев на двух руках? Я же могу рассмотреть, – то есть, обратиться к своему чувственному визуальному опыту, – свои руки?
Вы убедились, что утверждения Парменида абсурдны? Древнегреческие философы тоже им не поверили и стали потешаться над Парменидом. Особенно смеялись пифагорейцы).
ПРИМЕР. Если нет движения, говорят они, то каким образом солнце переходит от восхода к закату, и каким образом оно производит времена года, возникающие в связи с приближением его к нам и удалением от нас? Или каким образом корабль, уходя из одних гаваней, приходит в другие гавани, очень далеко отстоящие от первых? Каким способом тот, кто отрицает движение, уходит из дому и снова в него возвращается? Всё это трудно согласовать одно с другим. Источник: Секст Эмпирик. Сочинения в двух томах. – Том 2. – М.: Мысль, 1976. – С. 333. |
По преданиям, когда один из философов, киник, узнал, что движение – это иллюзия, он, вместо того, чтобы привести свои опровергающие доводы и рассуждения, предъявил чувственный опыт ходьбы – встал и пошел. Этим киником, по свидетельству Диогена Лаэртского, был Диоген Синопский.
Диоген Синопский (IV в. до н.э.)
◉ Отметьте на числовой прямой четвертый век до нашей эры – обратите внимание детей, что точка отметки будет ближе к нулю, чем предыдущая отметка пятого века.
Диоген Синопский известен тем, что практиковал аскетизм – отказ от земных благ, и, по преданию, жил в огромном глиняном пифосе – в «бочке». Еще он известен своими язвительными ответами. Его поступки поражали окружающих, а теперь читаются как анекдот. Например, он кричал: «Люди!», – те сбегались, а он доставал палку и отгонял их от себя, приговаривая: «Я звал людей, а не мерзавцев!».
◉ Анекдоты про Диогена настолько забавные, что дети с удовольствием их слушают.
ПРИМЕР. Увидев однажды, как мальчик пил воду из горсти, он выбросил из сумы свою чашку, промолвив: «Мальчик превзошел меня простотой жизни». Он выбросил и миску, когда увидел мальчика, который, разбив свою плошку, ел чечевичную похлебку из куска выеденного хлеба. [...] Когда он грелся на солнце в Крании, Александр, остановившись над ним, сказал: «Проси у меня, чего хочешь»; Диоген отвечал: «Не заслоняй мне солнца». [...] Софисту, который силлогизмом доказал ему, что он имеет рога он ответил, пощупав свой лоб: «А я таки их не нахожу». Таким же образом, когда кто-то утверждал, что движения не существует, он встал и начал ходить. Источник: Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. – М.: Мысль, 1979. – С. 245-246. |
Георг Гегель, анализируя этот поступок Диогена, написал, что доводы не могут быть опровергнуты чувственной достоверностью. (Про это говорил ещё Парменид.) Только доводы, опровергающие возражения, могут опровергнуть доводы.
ПРИМЕР. Известно, как циник Диоген Синопский совершенно просто опроверг такое доказательство о противоречивости движения; он молча встал и начал ходить взад и вперед; он опроверг его делом. Но там, где ведут борьбу доводами, допустимо лишь такое же опровержение доводами; нельзя в таком случае удовольствоваться лишь чувственной достоверностью, а нужно понять. Опровергнуть возражения значит показать их ничтожность, показать, что они отпадают и что их совсем не следовало бы выдвигать. Однако для этого надо продумать движение, как его мыслил Зенон, а затем двинуть дальше само это понимание движения. Источник: Г. Гегель. Лекции по истории философии. Книга первая. – СПб.: Наука, 1993. – С. 277. |
А Александр Сергеевич Пушкин (современник Гегеля) про эту ситуацию даже стихотворение написал.
Движение
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.
Александр Пушкин, 1821.
Итак, Парменид доказывал, что чувственный опыт отличается от разумного знания. Гегель это подтвердил. А Пушкин ловко обратил на это отличие внимание читателей.
Двигаться – это одно, а доказать существование движения – другое. Визуальный опыт указывает нам на то, что Солнце катится по небу. Доказательства того, что не Солнце катится по небу, а Земля вращается вокруг Солнца, неопровержимы.
Вернёмся к Пармениду. С его тезисом о том, что движения нет, никто не соглашался. Но у Парменида был ученик – Зенон Элейский.
Зенон из Элеи (IV в. до н.э.)
Зенон был согласен с Парменидом. Движения нет – о движении нельзя мыслить, не впадая в противоречия. Для защиты тезисов учителя Зенон описал апори́и – вымышленные, логически верные рассуждения, которые не могут существовать в реальности, и пытался доказать противоречивость концепций движения, пространства и множества. Он не отрицал движение и множественность в сфере чувственного опыта – в чувственном опыте движение и множественность есть, а показал, что невозможно
- мыслить пустоту,
- мыслить многое и
- мыслить движение,
не впадая при этом в противоречия.
◉ У детей возникает вопрос: «Что такое доказательства?». Забавную иллюстрацию найдём у Смаллиана.
ПРИМЕР. Что лучше: вечное блаженство или бутерброд с ветчиной? На первый взгляд кажется, что вечное блаженство лучше, но в действительности это не так! Судите сами. Что лучше вечного блаженства? Ничто. А бутерброд с ветчиной лучше, чем ничего. Следовательно, бутерброд с ветчиной лучше, чем вечное блаженство. Источник: Рэймонд М. Смаллиан. Как же называется эта книга? – М.: АСТ, 2021. – С. 297. |
◉ Дети так и нарисовали в тетрадях: Вечное блаженство < Ничего < Бутерброд. И задумались. Вроде бы, логично, но ошибка где-то есть? Да ведь?
Зенон пользовался методом, который в математике называется «доказательством от противного».
1. Он принял тезисы пифагорейцев, которые были противоположны тезисам Парменида. Можно мыслить пространство как пустоту, можно мыслить существование множества вещей и можно мыслить движение.
2. Зенон доказал, что принятие этих трех положений ведет к противоречивым, исключающим друг друга выводам. Если допустить, что пифагорейцы правы, а Парменид неправ, то получается абсурд.
3. Значит, тезисы пифагорейцев были ложными.
4. Если тезисы пифагорейцев ложные, значит, должны быть истинны противоречащие им утверждения – то есть, тезисы Парменида.
5. Значит, тезисы Парменида истинны: пустота, множество и движение – немыслимы.
Свидетельство о том найдём у Платона.
ПРИМЕР. — Да, Сократ, — сказал Зенон, — [...] В действительности это сочинение поддерживает рассуждение Парменида против тех, кто пытается высмеять его, утверждая, что если существует единое, то из этого утверждения следует множество смешных и противоречащих ему выводов. Итак, мое сочинение направлено против допускающих многое, возвращает им с избытком их нападки и старается показать, что при обстоятельном рассмотрении их положение «существует многое» влечет за собой еще более смешные последствия, чем признание существования единого. Источник: Платон. Собрание сочинений в четырех томах. – Том 2. – М.: Мысль, 1993. – С. 348. |
Вроде бы, речь идёт о простых понятных абстракциях: пустота, множественность, движение.
◉ Дети сказали, что понимают, что такое движение, но как его объяснить – неясно: «Это что-то, связанное со скоростью и временем и расстоянием?».
Вот как приводятся к абсурду утверждения пифагорейцев.
Парменид говорит: «Пустоты или пространства не существует». Предположим, он не прав, а правы пифагорейцы, которые говорили, что пустота и пространство существуют. Абсурд!
ПРИМЕР. Предположим на мгновение, что существует пространство, в котором находятся различные объекты. Если это пустота, ничто, то в нем не может быть никаких объектов. Если же это что-то материальное, то оно само должно располагаться в пространстве, а это пространство – в другом, и так до бесконечности. Но это же абсурд. Таким образом, объекты не находятся ни в пространстве, ни в пустоте, и Парменид был прав, отрицая существование пустоты. Источник: Ф. Коплстон. История философии. Древняя Греция и Древний Рим. Том I. – М.: ЗАО Центрполиграф, 2003. – С. 76. |
Парменид говорит: «То, что имеет величину, нельзя мыслить множественным. Сущее есть единое и не делится на части». Предположим, он не прав, а правы пифагорейцы, которые говорили, что имеющее величину состоит из множества неделимых частей. Абсурд!
ПРИМЕР. 1. Давайте предположим вместе с пифагорейцами, что Реальность состоит из отдельных частей. Эти части могут быть либо измеримыми, либо неизмеримыми. Если допустить первое, тогда линию, к примеру, как объект, состоящий из измеримых частиц, можно будет делить до бесконечности, ибо, сколько бы мы ни делили, все равно останутся измеримые части, которые тоже можно будет делить, и т. д. Но в этом случае мы можем утверждать, что линия состоит из бесконечного числа частей, обладающих размером. Тогда эта линия должна быть бесконечно большой, ибо она состоит из бесконечного числа тел. Отсюда все в мире должно быть бесконечно большим, и a fortiori [прим. – С тем большим основанием (лат.)] мир сам по себе должен быть бесконечно большим. Предположим, с другой стороны, что части не имеют размера. В этом случае вся Вселенная будет бесконечно малой, ибо, сколько бы мы ни добавляли частей, если они не имеют размеров, то и сумма их не будет иметь размеров. Но если Вселенная не имеет размера, значит, она бесконечно мала и все в ней будет бесконечно малым. Пифагорейцы, таким образом, стоят перед дилеммой. Либо все во Вселенной бесконечно велико, либо бесконечно мало. Вывод, к которому хочет подвести нас Зенон, заключается в том, что предположение, которое породило подобную дилемму, а именно что Вселенная и все в ней состоит из частей, – абсурдно. Если пифагорейцы думают, что гипотеза Единого абсурдна и ведет к нелепым выводам, то Зенон показывает, что противоположная гипотеза, гипотеза множества, приводит к столь же нелепым выводам. 2. Если существует множество, тогда мы должны суметь его подсчитать. По крайней мере, количество объектов должно быть исчислимо, ибо, если оно неисчислимо, как оно может существовать? С другой стороны, объекты могут быть и неисчислимыми, но число их должно быть бесконечно. Почему? Потому что между любыми двумя частями всегда будут другие части, подобно тому как линия может делиться до бесконечности. Однако утверждать, что множество конечно и одновременно бесконечно, – это полный абсурд. 3. Слышим ли мы шум, когда падает мешок с зерном? Конечно. А когда падает одно зернышко или тысячная его часть? Мы ничего не слышим. Но мешок наполнен зернами или их кусочками. Тогда, если части падают бесшумно, как может целое при падении издавать шум, если оно состоит из частей? Источник: Ф. Коплстон. История философии. Древняя Греция и Древний Рим. Том I. – М.: ЗАО Центрполиграф, 2003. – С. 74-75. |
Парменид говорит: «Невозможно мыслить движение, если представлять путь и время дискретными». Предположим, он не прав, а правы пифагорейцы, которые говорили, что движение, – расстояние, связанное со временем, – существует.
Зенон вместе с пифагорейцами допустил, что движение мыслимо, и предположил, что путь и время дискретны. Пространство, в котором тела движутся, состоит из множества частей. А время, когда происходит движение, состоит из множества моментов. Об абсурдности выводов, которые следуют из предположения, что путь и время дискретны, мы дальше и поговорим.
ОТРЕЗОК И ТОЧКА
◉ Прежде, чем продолжать разговор о парадоксе, детям необходимо напомнить геометрические абстракции.
Зенон спорил с пифагорейцами. Те были математиками и могли представить длину пути отрезком.
Вспомним, что в геометрии конечные величины состоят из бесконечного множества «неделимых» величин: на отрезке бесконечно много неделимых точек, а точка по Евклиду – это то, что нельзя разделить. Он писал: «Точка есть то, что не имеет частей».
◉ Дети обычно говорят, что не могут представить такую маленькую точку. Мы-то на листе бумаги ставим крупные точки. Как представить объект без частей – без длины, ширины и высоты? Дети говорят: «А может быть, точка все-таки с частями?». Нет. Если есть части, это не точка. И второй вопрос: «Сколько таких неделимых точек можно распределить по отрезку?». Дети нерешительно отвечают: «60, 1000, миллиард». А миллиард точек + 1 можно? Дети: «Можно». А + 2? «Можно». Дети с подозрением относятся к бесконечности.
В геометрии на любом отрезке помещается расстояние от одной точки к другой легко раскладывается на бесконечное число частей.
ПАРАДОКСЫ ЗЕНОНА: существует несоответствие между мышлением, не допускающим противоречивости, и реальной действительностью, содержащей в себе противоположности
Зенон поднял вопросы о соотношении движения и покоя, единого и многого, конечного и бесконечного, прерывного и непрерывного. О противоречии между логическим анализом и эмпирическими данными – он доказывал, что мыслить о движении и множественности невозможно и что движение и множественность противоречивы – хотя могут быть в сфере чувственного опыта. Рассуждения Зенона приводят к одному выводу, а эмпирические данные – к противоположному. И, наконец, его размышления приводят к вопросу о границах применимости формальной логики, то есть, о соотношении логики и реальности.
Парменид утверждал, что источник знания – мышление, а не чувственный опыт. Знание должно соответствовать требованиям разумной логики, а данные от чувств не должны приниматься во внимание, если противоречат логическим выводам. Доводы разума первичны, а доводы чувственного опыта могут вводить в заблуждение.
Зенон поставил проблему теоретического рационального познания движения, пустоты, множественности (многообразия).
Как мы познаём движение? Мы либо (1) мыслим движение теоретически и логически, либо (2) эмпирически наблюдаем движение и отмечаем положение вещей в пространственных координатах так, как их видим.
Как мы будем проводить эксперименты, подтверждающие или опровергающие движение? Можно провести (1) чувственный эксперимент – пробежаться; (2) мыслительный эксперимент – проследить движение в рамках модели (например, геометрии); или (3) эмпирический эксперимент – возьмём модель (геометрию) и найдём соответствие геометрии в практике (опыте), то есть, найдём соответствие модели тому, что можно в модели измерить.
До нас дошли девять апорий: пять – у Аристотеля, три – у Симплиция и одну – у Диогена Лаэртского. Нас будут интересовать четыре апории, из которых Зенон вывел, что движение невозможно – потому что необъяснимо!
Две апории доказывают противоречивость предположения, что возможно бесконечное деление пространства и времени:
1. «Дихотомия»: движение от точки А к В начинается, хотя не может ни начаться, ни завершиться.
2. «Ахиллес и черепаха»: движение не может завершиться.
Ещё две апории доказывают противоречивость предположения, что пространство и время состоят из неделимых элементов.
3. «Летящая стрела»: летящая стрела и движется, и не движется.
4. «Стадий»: половина равна целому.
Рассмотрим первую апорию, а остальные оставим читателям для самостоятельного изучения.
Апория «Дихотомия» (в пер. с греч. — деление пополам): попытки количественно описать движение приводят к противоречиям
Апория «Дихотомия» основана на том, что любой отрезок может быть представлен в виде бесконечно большого количества частей, которые не могут быть пройдены в конечное время. В этом парадоксе Зенон не отрицал движение, а поднял вопрос о том, как выразить движение в логике понятий.
Движение возможно в области чувственного опыта.
Движение невозможно в области мышления и разумных логических доводов.
ПРИМЕР. Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие затруднения тем, кто пытается их разрешить. Первое — о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся [тело] должно дойти до половины прежде, чем до конца. Источник: Аристотель. Сочинения в 4-х томах. Том 3. Физика. Книга шестая. – М.: Мысль, 1981. – С. 199. |
Смысл апории «Дихотомия»
ПРИМЕР. Допустим, вместе с противниками Парменида, будто движение мыслимо. [...] Зенон доказывает, что движение невозможно. Оно невозможно, во-первых, как движение одного-единственного тела, переходящего по прямой из одной ее точки в другую. Чтобы пройти некоторую дистанцию, отделяющую точку А от точки В, тело должно предварительно пройти половину этой дистанции; чтобы пройти половину, оно должно предварительно пройти половину этой половины, и т. д. до бесконечности. В результате этого тело не только не может пройти из точки А в точку В, но не может даже покинуть точку А, т. е. движение от точки А к точке В не может не только завершиться, однажды начавшись, но даже не может начаться. Таков смысл аргумента «Дихотомия». Источник: В.Ф. Асмус. Античная философия. – Изд. 2-е. – М.: «Высшая школа», 1976. – С. 53-54. |
Давайте отметим: (1) в рамках математики мы можем определить бесконечные множества (множество точек на отрезке); и (2) в эмпирической действительности (в чувственных образах) бесконечных множеств нет. Как преодолеть бесконечную дистанцию за конечный отрезок времени? Совершенно невозможно.
ПРИМЕР. Предположим, вы хотите пересечь стадион или беговую дорожку. Чтобы сделать это, вам надо будет пройти бесконечное число точек – согласно гипотезе пифагорейцев. Более того, если вы вообще хотите достичь противоположного конца стадиона, вам нужно будет сделать это за конечный отрезок времени. Но как вы сможете пройти бесконечное число точек, иными словами, преодолеть бесконечную дистанцию за конечный отрезок времени? Приходится сделать вывод, что вы не сможете пересечь стадион. Более того, напрашивается вывод, что никакой объект не может преодолеть никакое расстояние (ибо он сталкивается с аналогичной проблемой) и что, следовательно, никакое движение невозможно. Источник: Ф. Коплстон. История философии. Древняя Греция и Древний Рим. Том I. – М.: ЗАО Центрполиграф, 2003. – С. 76. |
Движение не может начаться. А если движение всё же начнётся, то не сможет закончиться
Перед вами путь из точки А в точку В (представим путь отрезком).
1. Сначала надо пройти половину пути (½).
2. Но у этой половины есть тоже половина. Значит, сначала нужно пройти ¼ пути.
3. Нет, сначала надо пройти половину этой половины – ⅛ пути… (и т.д.)
4. Поскольку длину пути можно поделить на бесконечное число частей, нужно сначала пройти половину пути – и только после этого всю длину пути. Получается, что количество этих половин бесконечно, а бесконечное количество отрезков нельзя пройти за конечное время.
ПРИМЕР. Допустим, некому телу надо пройти из пункта А в пункт В. Нет никакого сомнения в том, что мы можем увидеть, как тело, покинув один пункт, через какое-то время достигнет другого. Однако давайте попробуем не доверять своим глазам, которые говорят нам о том, что тело движется, и попытаемся воспринять движение не глазами, а мыслью, постараемся не увидеть его, а помыслить. В этом случае у нас получится следующее. Прежде чем пройти весь свой путь из пункта А в пункт В, телу надо пройти половину этого пути, ведь если оно не пойдет половину пути, то, конечно же, не пройдет и весь путь. Но прежде чем тело пройдет половину пути, ему надо пройти 1/4 часть пути. Однако до того, как оно пройдет эту 1/4 часть пути, ему надо пройти 1/8 часть пути; а еще раньше ему требуется пройти 1/16 часть пути, а перед этим — 1/32 часть, а прежде того — 1/64 часть, а до этого — 1/128 часть и так до бесконечности. Значит, чтобы пройти из пункта А в пункт В, телу надо пройти бесконечное количество отрезков этого пути. Возможно ли пройти бесконечность? Невозможно! Следовательно, тело никогда не сможет пройти свой путь. Таким образом, глаза свидетельствуют, что путь будет пройден, а мысль, наоборот, отрицает это (видимое противоречит мыслимому). Источник: Д.А. Гусев. Популярная логика и занимательные задачи. Учебное пособие. – М.: Прометей, 2015. – С. 215-216. |
Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся. «Дихотомия» и показывает, что движение не может закончиться, и дойти из пункта А в пункт В невозможно.
ПРИМЕР. To, что движется, должно достигнуть известного конечного пункта; этот путь представляет собою целое. Чтобы пройти целое, движущееся должно сначала пройти половину; теперь конечным пунктом является конец этой половины, но эта половина пространства есть в свою очередь целое, которое, таким образом, также имеет в себе половины; движущееся, следовательно, прежде должно дойти до половины этой половины – и т. д. до бесконечности. Зенон здесь указывает на бесконечную делимость пространства: так как пространство и время абсолютно непрерывны, то нигде нельзя остановиться с делением. Каждая величина (а каждое время и каждое пространство всегда обладают величиной) делима в свою очередь на две половины, которые должны быть пройдены, и это всегда имеет место, какое бы маленькое пространство мы ни взяли. Движение оказывается прохождением этого бесконечного количества моментов; оно поэтому никогда не кончается; движущееся, следовательно, не может дойти до своего конечного пункта. Источник: Ф. Гегель. Лекции по истории философии. Книга первая. – СПб.: Наука, 1993. – С. 276-277. |
Объяснение для школьников: «Я не смог начать движение, чтобы взять тетрадь»
Представьте: школьник хочет сделать домашнее задание по математике и собирается подойти к портфелю, чтобы взять тетрадь и учебник. Но движение к тетради не может начаться. Никакая часть пути не будет достаточно малой – выбрать, когда начать шагать, невозможно. Всегда можно делить ещё и ещё. От любой части можно взять половину, а потом ещё половину и ещё… В ряду отрезков пути нет начала, поэтому невозможно указать первый момент движения. Нет возможности начать движение к тетради, а потому нельзя сделать домашнее задание.
Современное объяснение парадокса
«Дихотомия» основана на особенностях актуально-бесконечных рядов, у которых может не быть первого члена (начала).
ПРИМЕР. Примеры рядов, не имеющих начала, мы видим в совокупности всех отрицательных целых чисел, расположенных в порядке возрастающей величины, а также в различных частях так называемых слитных рядов. Последние характеризуются тем, что между каждыми двумя их членами имеются другие члены, вследствие чего нельзя говорить об элементе, непосредственно следующем за данным; теперь стоит только взять совокупность членов слитного ряда, следующих за данным, чтобы получить ряд, не имеющий начала. В качестве примера можно привести любой арифметический или геометрический континуум, так как последний прежде всего обладает свойствами слитного ряда; действительно, берем ряд вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам 0<x<1, и убеждаемся, что этот ряд не имеет первого члена. То же самое можно сказать о точках любой прямой, следующих за данной ее точкой в указанном направлении. Представить себе структуру подобных совокупностей мы не можем; но мыслить их и иметь о них достоверное знание — можем, как показывает пример анализа и геометрии. Для нашей способности воображения затруднения усиливаются, если перейти ко времени. Тогда как элементы арифметических и геометрических образов могут сосуществовать и вообще даны независимо от течения времени, – промежуток времени, по самой сущности этого понятия, мыслится нами, как последовательность отдельных моментов; между тем, нет момента, непосредственно следующего за данным. Вот в этой-то „апории“ и заключается суть первого аргумента Зенона. Пусть некоторая материальная точка до момента t1 включительно покоилась, а потом пришла в движение; указать первый момент движения мы не можем; следовательно, говорит Зенон, движение не могло начаться, — оно вообще невозможно. [...] Таким образом, в своем первом аргументе Зенон отрицал возможность движения, исходя, по-видимому, из того соображения, что во всяком открытом ряду должен существовать первый член. Как мы видели, последнее мнение было бы неопровержимым, если бы принять, что всякая вполне определенная совокупность должна состоять из конечного числа элементов. Мнение это, однако, ошибочно, и понятие об актуальной бесконечности проливает свет и на рассматриваемую апорию, делая возможным существование ряда, не имеющего первого члена. Источник: С.А. Богомолов. Актуальная бесконечность. – Л.: Государственное технико-теоретическое изд-во, 1934. – С. 60-62. |
Зенон ошибся, когда из невозможности вообразить начало движения сделал вывод, что движение невозможно. Представить себе актуально-бесконечный ряд нельзя, а мыслить о нём (достоверно знать) – можно.
Зенон дошел до понятия о ряде, не имеющем начала, и показал, что время, пространство и движение – это только представления (модели), которые не имеют абсолютной реальности. Кстати, это основное положение Иммануила Канта.
ПРИМЕР. Высокое мнение о «дихотомии» высказывает [...] Dunan, считая ее единственным твердо обоснованный аргументом из всех четырех. По его мнению, здесь доказано, что время, пространство и движение суть только данные представления и не имеют абсолютной реальности; т. е. Зенон посредством «дихотомии» установил не более и не менее, как основное положение Канта. Источник: С.А. Богомолов. Актуальная бесконечность. – Л.: Государственное технико-теоретическое изд-во, 1934. – С. 62. |
Апория была сформулирована примерно 23 века назад. Прошло много времени. Г. Лейбниц и И. Ньютон разработали теорию пределов – исчисление «бесконечно малых», – в рамках которого математически объясняются аргументы Зенона (а физический смысл вызывает вопросы).
ПРИМЕР. Первая апория гласит, что движение не может начаться, потому что движущийся предмет должен дойти до половины пути, прежде чем он дойдет до конца, но чтобы дойти до половины, он должен дойти до половины половины, и так до бесконечности, т. е. чтобы попасть из одной точки в другую, надо пройти бесконечное количество точек, а это невозможно. Математически это выражается суммой бесконечного ряда дробей, который имеет предел, равный всему пути, который принимается здесь за единицу, т. е.: lim(½ + ¼ + … + 1/2ⁿ) = 1, где lim1/2ⁿ = 0 Математически это разрешимо, но не ясен физический смысл того, что бесконечно малый отрезок пути стремится к нулю и в то же время не исчезает. Не значит ли это, что пространство атомарно? Источник: А.Н. Чанышев. История философии Древнего мира: Учебник для вузов. – М.: Академический Проект, 2005. – С. 181-182. |
Зенон отодвинул путника на начало пути. А мог бы сказать, что путник не достигнет конца
Зенон мог бы и перевернуть свои рассуждения. Например, путник мог бы бесконечно долго шагать, пройдя половину пути (½), потом еще половину оставшегося пути (¾) и ещё половину, и ещё… и никогда бы до конечной точки пути не дошел. Однако Зенон отодвигает от путника не конец пути, а начало, чтобы показать, что движение не только не может закончиться – оно и начаться-то не может.
ПРИМЕР. Было бы вполне в духе Зенона утверждать, что движущееся тело никогда не достигнет конца своего пути: на сколько бы оно ни продвинулось вперед, всегда оставалось бы нечто, отделяющее тело от его цели. Если бы, напротив, дело шло о том, чтобы выдвинуть в центр рассуждения именно бесконечность частей, то на ум читателя или слушателя можно было бы сильнее воздействовать при ином способе деления промежутка: разделим его пополам, потом каждую половину пополам, потом каждую четверть пополам, и т. д.; число частей возрастало бы значительно быстрее. Однако Зенон ничего подобного не делает; его способ деления таков, что он отодвигает все дальше и дальше ту часть пути, которая должна быть пройдена первой. Поэтому мы считаем правильнее понимание Гербарта, по которому сущность “дихотомии“ заключается в том, что движение не может начаться: никакая часть пути не будет достаточно малой для того, чтобы быть первой, ибо от всякой части можно взять половину, и чтобы пробежать эту часть, нужно сначала пробежать ее половину. [...] Итак, мы примем, что в «дихотомии» Зенон производит такое деление пути, что различные его части располагаются в последовательности прохождения их движущимся телом; при этом оказывается, что в полученном ряду нет первого члена, так что движение как будто бы не может начаться. Источник: С.А. Богомолов. Актуальная бесконечность. – Л.: Государственное технико-теоретическое изд-во, 1934. – С. 55-56 |
Объяснение для школьников: «Я смог подойти к моей тетради на бесконечно малое расстояние, но так и не смог до неё дотянуться»
Предположим, школьник всё-таки начал движение к тетради. Он неизбежно столкнётся со следующей проблемой: нет конца пути, невозможно его закончить – завершить бесконечный ряд. Он бодро пойдёт к тетради и сначала пройдёт половину пути. Для того, чтобы пройти оставшуюся половину, надо сначала пройти половину половины (он осилит ещё четверть пути). Далее – ещё половину (⅛). И так далее.
½ + ¼ + ⅛ + ...
В результате ему придётся пройти бесконечное число половин – но это невозможно сделать за конечное время, а значит, и нельзя сделать домашнее задание.
ИСТОРИЧЕСКАЯ ЗАСЛУГА ЗЕНОНА
Зенон показал, что такие абстракции, как «пространство» или «движение» нельзя мыслить, не впадая в противоречия
Зенон первым обнаружил противоречия в мышлении человека: нельзя мыслить о движении, потому что это приводит к противоречивости: при рассуждении получается один ответ, а на практике – другой. Древние греки были сбиты с толку и не понимали, что происходит на самом деле. Настолько абстрактные рассуждения были далеки от реальности. Она оказалась сложнее, чем они интуитивно ее понимали.
Они задумались. Возможно, рассуждения или их знания недостаточно полны или даже неправильны? Может быть, некорректно поставлена задача? Апории спровоцировали научные дискуссии и углубили понимание адекватности физического движения и его математической модели, дискретного и непрерывного в природе и пр.
Апории Зенона подтолкнули философию и математику к развитию
Парадоксы Зенона противоречили интуитивным представлениям относительно бесконечно малого и бесконечно большого. Философы и математики стали осторожнее относиться к абстракции «бесконечность» – придумывали «обходные» пути и избегали рассуждений об одновременно существующих множествах, содержащих бесконечное число элементов.
Пример 1. Решая задачу определения объема пирамиды, Евдокс Книдский изобрел метод исчерпывания, в нем он избегал рассуждений об одновременно существующих множествах, содержащих бесконечное число элементов.
Пример 2. Евклид в «Началах» говорил не о бесконечных прямых, а об отрезках, хотя и использовал при этом слово «прямая». Он отмечал, что отрезок можно многократно продолжать, получая при этом каждый раз новый отрезок – но не всю прямую.
ПРИМЕР. От разрушительной критики Зеноном понятия бесконечности впечатление у всех философов осталось неизгладимое. По-видимому, именно из-за этой критики древнегреческие математики избегали вводить в рассуждения «актуальную бесконечность» (т. е. множества, содержащие бесконечное число элементов, которые предполагаются существующими одновременно) и ограничивались «потенциальной бесконечностью», т. е. возможностью увеличивать данную величину (или уменьшать её, если речь идёт о «непрерывной» величине). Типичный пример – формулировка Евклида: «Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел». Евклид также нигде не говорит о бесконечных прямых, а говорит только об отрезках, хотя и использует при этом слово «прямая». Он отмечает, что отрезок можно много кратно продолжать, получая при этом каждый раз новый отрезок (но не всю прямую). Знаменитый пятый постулат также использует возможность продолжить отрезки: «Если секущая пересекает до прямые так, что сумма односторонних углов меньше двух прямых углов, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где сумма односторонних углов меньше двух прямых углов». (Здесь под двумя прямыми, конечно, подразумеваются до отрезка, потому и говорится о продолжении прямых). Источник: В.В. Прасолов. История математики. Часть 1. – М.: МЦНМО, 2018. – С. 46. |
Пятый постулат Евклида гласит: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых».
Апории привлекли интерес математиков к бесконечным рядам и проблеме определения суммы их членов.
Зенон дошел до понятия о ряде, не имеющем начала, и показал, что время, пространство и движение – это только представления, которые не имеют абсолютной реальности. Спустя века Кант в первой антиномии укажет на трудность, связанную с представлением бесконечного временного ряда. Это та же самая трудность, которая лежит в основе апории Зенона.
Движение не может закончиться, потому что это потребует завершения бесконечного ряда. Движение не может начаться, потому что невозможно указать первый член бесконечного ряда.
ПРИМЕР. АНТИНОМИИ ЧИСТОГО РАЗУМА. ПЕРВОЕ ПРОТИВОРЕЧИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНЫХ ИДЕЙ. Тезис Доказательство Что касается второй [части тезиса], допустим опять противоположное утверждение, что мир есть бесконечное данное целое из одновременно существующих вещей. Но размер такого количества, которое не дается в определенных границах того или иного созерцания*, мы можем представить себе не иначе как только посредством синтеза частей, и целокупность такого количества- только посредством законченного синтеза или посредством повторного прибавления единицы к самой себе.** Поэтому, чтобы мыслить наполняющий все пространства мир как целое, необходимо было бы рассматривать последовательный синтез частей бесконечного мира как завершенный, т. е. пришлось бы рассматривать бесконечное время при перечислении всех сосуществующих вещей как прошедшее, что невозможно. Итак, бесконечный агрегат действительных вещей нельзя рассматривать как данное целое, стало быть, он не может рассматриваться и как данный одновременно. Следовательно, мир по своему протяжению в пространстве не бесконечен, а заключен в свои границы, что и требовалось доказать, во-вторых. Прим. ** Понятие целокупности обозначает в таком случае не что иное, как представление о законченном синтезе его частей. В самом деле, так как мы не можем вывести это понятие из (невозможного в этом случае) созерцания целого, то мы можем постичь это понятие, по крайней мере в идее, только посредством синтеза частей, продолжающегося до завершения бесконечного. Источник: И. Кант. Критика чистого разума. / Пер. с нем. Н. Лосского, сверен и отредактирован Ц. Г. Арзаканяном и М. И. Иткиным; примеч. Ц. Г. Арзаканяна. – М.: Мысль, 1994. – С. 268-270. |
Философские проблемы нашли разрешение в предметных областях
Зенон Элейский в V веке до нашей эры обнаружил парадокс: о «движении» нельзя мыслить.
Готфрид Вильгельм Лейбниц и Исаак Ньютон в XVIII веке, Огюстен Луи Коши в XIX веке, чтобы мыслить о «движении», создали математический аппарат – анализ бесконечно малых, теория пределов, дифференциальное исчисление и т.д.
Георг Кантор в конце XIX века создал теорию множеств.
Наконец, в XX веке появилась квантовая физика, которая в том числе работала с квантовой теорией полей и неделимыми квантами протяжения.
ВЫВОДЫ
1. Испытать радость, а не недоумение, от парадокса Зенона сможет только тот школьник, который изучает геометрию. Если школьник считает, что отрезок состоит только из двух точек, – начала и конца, а посередине линия, – объяснение стоит отложить до лучшего момента.
2. После удивления от встречи с парадоксом Зенона школьникам необходимо подумать, какие новые (математические) знания помогут им разгадать загадку парадокса? Что такое дифференциальное исчисление? Кто такой Лейбниц? Кто такой Ньютон?
3. Реальность, в которой мы живём, сложна.
Есть реальная жизнь – в ней всё движется, она чувственная. Есть абстрактное моделирование реальности в сознании человека. Абстрактные модели могут существовать в сознании и быть оторванными от реальной действительности.
Возникают исследовательские вопросы. Если абстрактное моделирование – это инструмент для работы с реальной действительностью, то (1) как переносить абстрактные модели в реальную жизнь и (2) каким должно быть основные требования к абстрактным моделям?
ЗАДАЧИ
#1. На часах всё шесть
В книге Льюиса Кэрролла про Алису есть интересный момент: Время обиделось на Болванщика, и поэтому на часах теперь всегда шесть.
ПРИМЕР. Тут Алису осенило. Источник: Л. Кэрролл. Приключения Алисы в стране чудес. Пер. с англ. Н. Демурова. |
ВОПРОС: Почему у Болванщика и Мартовского зайца, которые не в своем уме, на часах всё время шесть? Потому что после шести часов движение стрелок не может начаться или потому что стрелка не может дойти до шести часов, и на часах всегда будет 17:59:59:59,...?
#2. Парадокс с лягушкой
В фантастическом рассказе Ф. Дика два ученых поспорили о парадоксах Зенона и провели эксперимент, в котором лягушка должна была преодолеть расстояние от начала до конца трубы. Чтобы отрезки уменьшались в два раза, когда лягушка перевалит за половину трубы, она тоже должна уменьшаться при каждом прыжке в два раза. Так лягушка скакала и скакала, пока… не провалилась между атомами трубы. Эксперимент провалился.
ПРИМЕР. Возьмите, например, его парадокс с трубой и лягушкой. Как показал Зенон, лягушка никогда не достигнет конца трубы, если длина каждого ее нового прыжка составляет половину длины предыдущего. Всегда будет оставаться малое, но вполне реальное расстояние… [...] — Проблема заключается в том, – сказал Харди, – что никто никогда не проводил экспериментальной проверки. — Боже, профессор, – испуганно заговорил Питнер, – она уменьшилась. Лягушка стала в два раза меньше. Источник: Ф. Дик. Парадокс с лягушкой. |
ВОПРОС: Нарисуйте схему эксперимента, возьмите учебник физики и узнайте, что такое атом, а потом объясните идею рассказа.
#3. Анекдоты
Известны математические анекдоты, веселящие детей, впервые узнавших про Зенона и его апории.
В рамках математики представить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию (она убывает, а нулем никогда не становится) возможно.
| АНЕКДОТ. В магазин заходит бесконечное число математиков. Первый просит килограмм картошки, второй – полкило, третий – четверть, четвертый – восьмую часть килограмма, ... . «Понял», – говорит продавец и кладет на прилавок два килограмма картошки. |
В рамках жизни бесконечно убывающей геометрической прогрессии не бывает.
| АНЕКДОТ. – Если разрезать пополам кусок мяса, а потом каждую половину снова пополам, какие части мы получим? – Четверти. – Хорошо. А потом? – Восьмые. – Потом? – Шестнадцатые. – Да, а дальше? – Тридцать вторые. – Хорошо, а дальше? – А дальше – фарш. |
В принципе, я удивлена, что вы дочитали эту статью до выводов. Ведь вы не могли даже начать читать статью! А если бы и начали, вы бы ни за что читать её не закончили (это невозможно!)
